Решить по : в треугольник со сторонами ab = 8, bc = 6, ac = 4 вписана окружность. найдите длину отрезка de, где d и e — точки касания этой окружности со сторонами ab и ac соответственно.
Пусть точка касания окружности на ВС будет К. Отрезки касательных из одной точки к окружности до точек касания равны. ⇒ AD=AE KC=EC BD=BK⇒ BC=BK+KC BC=BD+EC BK+BD+KC+EC=2 BC Периметр АВС=АВ+ВС+АС или Р=2BC+2 АЕ BC+АЕ=Р/2=р АЕ=р-ВС р=(4+6+8):2=9 АЕ=9-6=3 По т.косинусов ВС²=АВ²+АС²-2 АВ*АС*cos ∠A 36=64+16-64*cos ∠A cos ∠A=44/64=11/16 По т.косинусов DE²=AD²+AE²-2*AD*AE*cos∠A DE²=9+9-18*11/16 DE²=18*5/16 DE=(3√10):4
Всё зависит от взаимного расположения точек и прямой с. 1) Если А и С расположены по одну сторону от с и на равном от неё расстоянии , получится ещё 3 прямых, кроме прямой с, и с прямой с пересекаются две прямые: ВС и АС; эти же прямые пересекаются с прямой АВ. 2) Если А и В расположены по одну сторону от с, но не лежат с С на одной прямей, прямая с пересекается прямыми ВС, АС и ВА. 3) Если точки А и В лежат по разные стороны от с, но не на одной прямой с точкой С, то прямая с пересекается прямыми ВС, АС и ВА. 4) Если точки А и В лежат на одной прямой с точкой С, то прямая АВ пересекает прямую с в одной точке - точке С.
Отрезки касательных из одной точки к окружности до точек касания равны. ⇒
AD=AE
KC=EC
BD=BK⇒
BC=BK+KC
BC=BD+EC
BK+BD+KC+EC=2 BC
Периметр АВС=АВ+ВС+АС или
Р=2BC+2 АЕ
BC+АЕ=Р/2=р
АЕ=р-ВС
р=(4+6+8):2=9
АЕ=9-6=3
По т.косинусов
ВС²=АВ²+АС²-2 АВ*АС*cos ∠A
36=64+16-64*cos ∠A
cos ∠A=44/64=11/16
По т.косинусов
DE²=AD²+AE²-2*AD*AE*cos∠A
DE²=9+9-18*11/16
DE²=18*5/16
DE=(3√10):4