Question

Сердце кровью обливается, , ! дан куб abcda1b1c1d1. доказать: 1) прямые ac и d1o перпендикулярны; 2) abc1 = 90°

Answer 1

1) Возможно, тут и как-то по-другому нужно доказывать, но так тоже всё верно:
$AD_1=CD_1$, как диагонали равных квадратов, значит Δ$AD_1C$ - равнобедренный, О - середина АС, значит $D_1O$ - медиана, биссектриса и высота, то есть $D_1O$⊥$AC$
ЧТД

2) Можно по достаточному условию перпендикулярности прямой и плоскости:
Для перпендикулярности заданных прямой и плоскости достаточно, чтобы прямая была перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.
$AB$⊥ $BB_1$, $AB$⊥ $BC$, значит $AB$⊥ $BCB_1$, и перпендикулярна любой прямой этой плоскости, в том числе $BC_1$, значит ∠$ABC_1=90^0$
ЧТД

Можно по теореме о трёх перпендикулярах:
Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной.
Здесь ещё проще: АВ проведена через основание наклонной $BC_1$, $BC$ - проекция $BC_1$ на плоскость АВС и $AB$⊥$BC$, значит $AB$⊥$BC_1$ и ∠$ABC_1=90^0$
ЧТД