Question

Вравнобедренном треугольнике abc с основанием bc биссектриса bl=10, а высота ad=5. найдите уголabd (в градусах).

Answer 1

Поскольку в равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, будет медианой и биссектрисой, то $\angle BAD=\angle DAC$. Тогда обозначив $\angle BAD=\alpha$, получим $\angle BAL=2\alpha$
$\angle ABD=90^\circ-\alpha;\, \angle ABL=45^\circ-\frac{\alpha}{2};\,\angle ALB=135^\circ-\frac{3\alpha}{2}$ .
Поскольку $\triangle BAD$ - прямоугольный, то (по известному соотношению) $AB= \frac{AD}{\sin (90^\circ -\alpha)} =\frac{5}{\cos\alpha}$
С другой стороны, по теореме синусов в $\triangle ABL$
$\frac{BL}{\sin \angle BAL} = \frac{AB}{\sin \angle ALB} \rightarrow\frac{BL}{\sin 2\alpha} = \frac{AB}{\sin (135^\circ-\frac{3\alpha}{2})} ;$
откуда получаем $AB= \frac{10\sin(135^\circ- \frac{3\alpha}{2}) }{\sin 2\alpha}$
Приравнивая правые части выражений для AB, получаем
$\frac{5}{\cos\alpha} =\frac{10\sin(135^\circ- \frac{3\alpha}{2}) }{\sin 2\alpha}\rightarrow \frac{1}{\cos\alpha} =\frac{2\sin(135^\circ- \frac{3\alpha}{2}) }{2\sin \alpha\cos \alpha}\rightarrow\sin(135^\circ- \frac{3\alpha}{2})=\sin\alpha$
и $135^\circ- \frac{3\alpha}{2}=\alpha;\, \frac{5}{2} \alpha =135^\circ;\, \alpha =54^\circ.$
Поэтому,
$\angle ABD=90^\circ-54^\circ=36^\circ$