Две стороны треугольника равны 3 и 5. Известно, что окружность, проходящая через середины этих сторон и их общую вершину, касается третьей стороны треугольника. Найдите третью сторону.
––––––––––––––––
АН и СН - касательные к окружности.
АВ - секущая, АК - её внешняя часть.
АВ=3, АК=0,5 АВ=1,5
СВ - секущая, СМ - её внешняя часть
СВ=5, СМ=СВ:2=2,5
Квадрат касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть. ⇒
АН ²=АВ•AK=3*1,5=4,5=450/100
АН=√4,5=√(450/100)=√(9*25*2:100)=(3•5√2)/10=1,5√2
СН²=СВ•CM=5*2,5=1250/100
CH=√(25•25•2/100)=(25√2)/10=2,5√2
АС=АН+СН=1,5√2+2,5√2=4√2
У нас : а= 5 см , b = х см , с= (х+1) см
Получается уравнение:
(х+1)²= х²+5²
х²+2*х*1 +1²= х²+25
х²+2х -х²= 25-1
2х= 24
х= 24/2
х=12 см - второй катет
12+1 = 13 см - гипотенуза
проверим : 13² = 5²+12² ; 169= 25+144; 169=169
ответ : 13 см .