Из ΔAMB по теореме косинусов : AB² =AM² +(BC/2)² -2AM*(BC/2)cos∠AMB (1) ; Из ΔAMC : AC² =AM² +(BC/2)² -2AM*(BC/2)cos∠AMC ; но cos∠AMC =cos(180° -∠AMB) = - cos∠AMB поэтому AC² =AM² +(BC/2)² +2AM*(BC/2)cos∠AMB (2) ; суммируем (1) и (2) получаем AB² +AC² =2AM² + BC²/2 ⇔4AM² =2AB² +2AC² -BC² ; но BC² =AB² +AC²- 2AB *AC*cosA поэтому : 4AM² =AB² +AC² + 2AB *AC*cosA.
* * * Можно продолжать медиана MD =AM и M соединить с вершинами B и C. Получится параллелограмм ABDC , где верно 2(AB²+AC²) = AD² +BC² ⇔2(AB²+AC²) = 4AM² +BC².
Для медианы CN : 4CN² =CB² +CA² +2CB*CA*cosC. Если ΔABC равнобедренный CB =AB ⇒∠C =∠A , то 4CN² =4AM² или CN =AM .
Для удобства обозначим ад - а, сд - в, дд1 - с. Фотки вставлять не умею поэтому объясню так: Точки АВСД внизу, точки А1В1С1Д1 вверху над ними) рассмотрим плоскость АА1ДД1. Здесь треугольник АДД1 - прямоугольный. Тогда по теореме Пифагора а^2 + с^2 = АД^2. перейдем к плоскости СДД1С1. Здесь треугольник ДСС1 прямоугольный. По т. Пифагора: в^2 + с^2 = ДС1^2 (противоположные стороны равны, поэтому ДД1=СС1=с). Перейдем к плоскости АВСД. Здесь треугольник АСД прямоугольный. Тогда по той же любимой теореме Пифагора: а^2 + в^2 = ДВ^2. Объединим три полученных уравнения в систему и подставим известное: а^2 + с^2 = 64; в^2 + с^2 = 100; а^2 + в^2 = 144. Теперь выразим а^2 из первого, в^2 из второго и подставим в третье. а^2 = 64-с^2; в^2=100-с^2; 64 - с^2 + 100 - с^2 = 144, решаем последнее уравнение. 2с^2=20 , с = корень из 10, тогда в^2 = 100 - 10, в= корень из 90 = 3 корня из 10. а^2=64-10, а=корень из 54= 3 корня из 6
а²=в²+с²-2*в*с*cosА
(3√(2+√2))²=R²+R²-2*R*R*cos135
9(2+√2)=2R²-2R²cos135
9(2+√2)=2R²-2R²(-(√2/2))
cos135=-cos(180-45)=-cos45=-(√2/2)
9(2+√2)=2R²+R²√2
9(2+√2)=R²(2+√2)
9=R²
R=3
S(сектора)=(πR²α)/360
S=(π*9*135)/360= сокращаем = (135π)/40 =(27π)/8