Точка К, из которой будет виден отрезок МN под наибольшим углом, будет находиться на общей окружности с точками М и N. При этом OK для неё является касательной. По свойству касательной и секущей ОК²=ОМ·ОN. Пусть ОМ=х, тогда ОN=OM+MN=x+6, 4²=x(х+6), х²+6х-4=0, х1=-8, отрицательное значение не подходит, х2=2. ON=2+6=8 дм - это ответ.
Теперь докажем, что отрезок MN виден из точки К под большим углом. Пусть радиус окружности около тр-ка КMN равен r. На стороне ОК в любом месте возьмём точку Р и опишем окружность около тр-ка РMN, радиусом R. ОР для неё является секущей, а для окружности, радиусом r - касательной, значит R>r. Формула хорды: l=2R·sin(x/2), где х - градусная мера хорды. ∠MKN=α, ∠MPN=β. Обратим внимание, что углы α и β - это половина градусной меры хорды. MN=2R·sinβ ⇒ sinβ=MN/2R. MN=2r·sinα ⇒ sinα=MN/2r. Сравним синусы, предположив, что они равны. MN/2R=MN/2r. 1/R=1/r, но R>r, значит 1/R<1/r, значит sinβ<sinα. Так как градусная мера хорды не может быть больше 180°, значит в формуле хорды 0°<α<90°, 0°<β<90°. В этом диапазоне синус угла тем больше, чем больше его градусная мера, значит α>β. Доказано.
АВС и АВК равнобедренные треугольники с общей стороной АС. Высота ВН треугольника АВС равна по Пифагору ВН=√(АВ²-АН²) или ВН=√(20²-12²)=16см. Высота КН треугольника АКС равна по Пифагору КН=√(АК²-АН²) или КН=√(15²-12²)=9см. Двугранный угол между плоскостями треугольников равен 60° (дано). Двугранный угол, образованный полуплоскостями измеряется величиной его линейного угла, получаемого при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной его ребру. Значит угол ВНК=60°, так как ВН и КН перпендикуляры к АС. Тогда отрезок ВК найдем по теореме косинусов: ВК²=ВН²+КН²-2*ВН*КН*Cos60° или ВК²=256+81-2*16*9*(1/2)=193. ответ: ВК=√193 см ≈ 13,89см.
угол A=C=(180-120):2=30.
проведём высоту BH к стороне AC.
AH=HC=
(что неясно - пиши в личку)