Сумма острых углов A и C равна 90°.
Объяснение:
В трапеции ABCD меньшая диагональ BD, равная 8, перпендикулярна основаниям AD=4 и BC=16. Найди сумму острых углов A и C.
Прямоугольные треугольники ABD и DBC подобны по второму признаку: если катеты одного пропорциональны катетам другого.
В нашем случае AD/DB = DB/BC = 1/2.
В подобных треугольниках соответственные углы равны. =>
∠BCD = ∠ABD.
В прямоугольном треугольнике ABD сумма острых углов равна 90°, то есть
∠ВАD + ∠ABD = 90° =>
∠ВАD + ∠ВСD = 90°.
ответ: сумма острых углов A и C равна 90°.
Для любителей тригонометрии можно найти тангенсы этих углов:
tgA = BD/AD = 8/4 = 2
tgC = BD/BC = 8/16 = 1/2.
По формуле tg(α + β) = (tgα+tgβ)/(1-tgα·tgβ) = (2+1/2)/0.
Это значит, что (α + β) = 90°.
Или так:
По Пифагору АВ = √(AD²+BD²) = 4√5.
СD = √(ВС²+BD²) = 8√5.
Sinα = AD/AB = 2√5/5. => Cosβ = 2√5/5
Sinβ = BD/CD = √5/5. => Cosα = √5/5
По формуле Sin(α + β) = sin(α)·cos(β) + cos(α)·sin(β) =>
Sin(α + β) = (2√5/5)·(2√5/5) + (√5/5)·(√5/5) = 4/5+1/5 = 1.
Это значит, что (α + β) = 90°.
