Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, может быть найдена тем или иным в зависимости от данных в условии задачи.
Длина высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, может быть найдена по формуле
или, в другой записи,
где BK и KC — проекции катетов на гипотенузу (отрезки, на которые высота делит гипотенузу).
Высоту, проведенную к гипотенузе, можно найти через площадь прямоугольного треугольника. Если применить формулу для нахождения площади треугольника
(половина произведения стороны на высоту, проведенную к этой стороне) к гипотенузе и высоте, проведенной к гипотенузе, получим:
Отсюда можем найти высоту как отношение удвоенной площади треугольника к длине гипотенузы:
Так как площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:
То есть длина высоты, проведенной к гипотенузе, равна отношению произведения катетов к гипотенузе. Если обозначить длины катетов через a и b, длину гипотенузы — через с, формулу можно переписать в виде
Так как радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине гипотенузы, длину высоты можно выразить через катеты и радиус описанной окружности:
а) Найдем точку пересечения асимптот: (центр гиперболы)
2у - 3х = 7
2у + 3х = 1 Сложим и получим 4у = 8 у = 2 х = - 1.
О(-1; 2) - центр гиперболы. Каноническое уравнение скорректируется:
(х+1)^2 / a^2 - (y-2)^2 /b^2 = 1.
Найдем а^2 и b^2.
Уравнение данного эллипса:
x^2 /3 + y^2 /7 = 1
Эллипс вытянут вдоль оси У и фокусы расположены на оси У на расстоянии:
Кор(7-3) = 2 от начала координат. Берем верхний фокус (0; 2), видим что он расположен на одном расстоянии от оси Х, как и центр гиперболы.
Пусть (0; 2) - правый фокус гиперболы. Расстояние до центра гиперболы равно 1.
a^2 + b^2 = 1
Еще одно уравнение для а и b получим из углового коэффициента асимптот. b/a = 3/2 ( 3/2 получится если в уравнении асимптоты выразить у через х). Итак имеем систему:
a^2 + b^2 = 1 13a^2/4 = 1 a^2 = 4/13
b/a = 3/2 b = 3a/2 b^2 = 9/13
Уравнение гиперболы:
13(x+1)^2 /4 - 13(y-2)^2 /9 = 1
б) Левый фокус гиперболы находится в т.(-2; 2), правый фокус -
в т. (0; 2).
Значит вершина параболы смещена на 2 относительно начала координат по оси У. Каноническое уравнение будет иметь вид:
(y-2)^2 = -2px (ветви влево!)
F = p/2 = 2 Отсюда p = 4
(y-2)^2 = -4x
построить высоту пирамиды H
получится прямоуг.треуг. с одним катетом H, гипотенузой=боковому ребру и угол между боковым ребром и вторым катетом будет=60 - по условию
по определению синуса - H = 12sin60 = 6корень(3)
в этом треугольнике второй острый угол =30 (180-60-90) и катет, лежащий против угла в 30 градусов = половине гипотенузы => второй катет (обозначим его R) = 12/2=6
V = 1/3 * Sосн * H
В основании равносторонний треугольник (пирамида правильная) обозначим ABC, мы здесь нашли отрезок AO, где O - основание высоты пирамиды - это часть высоты треуг. ABC, высоты в правильном треугольнике точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины => высота основания = 6+(6/2) = 6+3=9
Найдем сторону основания из треуг. AOC: в нем гипотенуза=R=6, высота=R/2=3, второй катет по т.Пифагора = корень(6*6-3*3) = корень(27) = 3корень(3) - это половина стороны основания (в равностороннем треуг. высоты=медианам)
сторона основания = 6корень(3)
Sосн = 1/2 * 6корень(3) * 9 = 27корень(3)
V = 1/3 * 27корень(3) * 6корень(3) = 54 * 3 = 162