Дан треугольник авс. ав=4, вс=6,ас=7. точка ележит на стороне ав. внутри треугольника взята точка м, так, что мв=5,25; ме=4,5; ае=1. вм пересекает ас в точке р. докажите, что треугольник арв равнобедренный.
Хорошо, давайте рассмотрим каждую из трех задач по очереди.
1) Построение образа треугольника mnk при параллельном переносе на вектор mk:
Перенос на вектор означает, что мы перемещаем каждую точку треугольника mnk на заданный вектор mk.
Для этого нам нужно:
- Взять циркуль и указатель, а также линейку.
- Найти точку m на листе бумаги и определить на ней место базы циркуля.
- Установить указатель в точку m и открыв его до точки k с помощью линейки.
- Сделать отметку на листе бумаги в положении, соответствующем точке k, и назовем ее m'. Это будет точка, являющаяся образом точки m при параллельном переносе на вектор mk.
- Повторить последние два шага для точек n и k, получив точки n' и k'.
- Соединить полученные точки m', n', k' линиями. Получится образ треугольника mnk после параллельного переноса на вектор mk.
2) Построение образа треугольника mnk при симметрии относительно точки к:
Симметрия относительно точки означает, что мы отражаем каждую точку треугольника mnk относительно заданной точки k.
Для этого нам нужно:
- Взять циркуль и указатель, а также линейку.
- Найти точку k на листе бумаги и определить на ней место базы циркуля.
- Установить указатель в точку k и открыв его на любое расстояние больше, чем расстояние от точки k до ближайшей вершины треугольника mnk (между точками m и k или между точками n и k).
- Сделать отметку в положении, соответствующем точке m, и назовем ее m'. Это будет точка, являющаяся образом точки m при симметрии относительно точки k.
- Повторить последний шаг для точек n и k, получив точки n' и k'.
- Соединить полученные точки m', n', k' линиями. Получится образ треугольника mnk после симметрии относительно точки k.
3) Построение образа треугольника mnk при симметрии относительно прямой nk:
Симметрия относительно прямой означает, что мы отражаем каждую точку треугольника mnk относительно прямой nk.
Для этого нам нужно:
- Взять циркуль и указатель, а также линейку.
- Найти точку n на листе бумаги и определить на ней место базы циркуля.
- Установить указатель в точку n и открыв его на любое расстояние.
- Нарисовать дугу, проходящую через точку k и пересекающую прямую nk в двух точках.
- Назвать эти точки a и b.
- Установить указатель в точке a и открыв его до точки b с помощью линейки.
- Сделать отметку в месте, соответствующем точке m, и назовем ее m'. Это будет точка, являющаяся образом точки m при симметрии относительно прямой nk.
- Повторить последние три шага для точек n и k, получив точки n' и k'.
- Соединить полученные точки m', n', k' линиями. Получится образ треугольника mnk после симметрии относительно прямой nk.
Вот и все решения трех задач. Теперь вы можете построить образ треугольника mnk при каждом из трех заданных преобразований.
Для решения этой задачи мы можем использовать свойства биссектрисы и параллельности прямых.
Шаг 1: Найдем длину отрезка AM.
Так как прямая, проходящая через точку O и параллельная прямой AC, пересекает сторону AB в точке M, то отрезок AM будет иметь такую же длину, как отрезок AC (так как AM и AC - параллельные прямые). Значит, длина отрезка AM равна 6.
Шаг 2: Рассмотрим треугольник AOM.
У нас уже есть длины двух его сторон: AO (биссектриса) и AM (нашли в предыдущем шаге). Чтобы найти площадь треугольника, нам нужно найти высоту треугольника, опущенную на сторону AO.
Шаг 3: Вычислим длину стороны OC.
Заметим, что треугольник ABC является прямоугольным, так как один из его углов равен 90 градусов (так как AC - гипотенуза). Используя теорему Пифагора, мы можем найти длину стороны OC:
OC^2 = AC^2 - AO^2,
OC^2 = 6^2 - 4^2,
OC^2 = 36 - 16,
OC^2 = 20,
OC = √20 = 2√5.
Шаг 4: Найдем высоту треугольника AOM.
Высота треугольника AOM - это отрезок, проведенный из вершины O перпендикулярно стороне AM. Отрезок AM разбивает треугольник ABC на два треугольника: AOM и CMO. Так как AM - биссектриса и O - точка пересечения биссектрисы с AB, то треугольники AOM и CMO являются подобными. Значит, соответственные стороны этих треугольников пропорциональны, а значит, высота треугольника AOM будет составлять долю от OC, такую же, как доля от MA:
h/OC = MA/AC,
h/(2√5) = 6/6,
h = 2√5.
Шаг 5: Найдем площадь треугольника AOM.
Площадь равнобедренного треугольника можно вычислить по формуле: S = (основание * высота) / 2,
S = (AM * h) / 2,
S = (6 * 2√5) / 2,
S = 6 * √5.
В треугольнике АВС (стороны АВ =4 АС=7 ВС=6)
cos(A) = (4^2 + 7^2 - 6^2)/(2*4*7) = 29/56; (теорема косинусов)
В треугольнике BME (стороны МЕ=4,5 МВ=5,25 ВЕ = АВ - АЕ =3)
cos(угол MBE) = (5,25^2 + 3^2 - 4,5^2)/(2*4*5,25) = 16,3125/31,5;
29/56 = (29*9)/(56*9) = 261/504;
16,3125/31,5 = (16,3125*16)/(31,5*16) = 261/504;
то есть косинусы этих углов равны, но это два угла в треугольнике АРВ.
поэтому АР = ВР.