Question

Втреугольнике abc угол c равен 90° ab=6, tga=2 на корень из 2. найдите ac

Answer 1

Если есть проблемы с отображением, смотрите снимок ответа, который приложен к нему.
====
Смотрите рисунок, приложенный к ответу.
Рассмотрим $\triangle ABC$. Из условия ясно, что он — прямоугольный (так как $\angle C = 90^{\circ}$). $AB = 6 cm$ — гипотенуза, $AC$ — искомый катет, $tg \angle A = 2\sqrt{2}$
Тангенс острого угла прямоугольного треугольника есть отношение противолежащего катета к прилежащему катету. То есть: $tg \angle A = \frac{BC}{AC}$
Отсюда: $AC = \frac{BC}{tg \angle A}$
Как видим, оба катета неизвестны. Но есть выход — теорема Пифагора. Покажем теорему Пифагора для данного треугольника:
$AB^2 = AC^2 + BC^2$
Как мы выяснили чуть выше $AC = \frac{BC}{tg \angle A}$.
Заменяем и получаем:
$AB^2 = (\frac{BC}{tg \angle A})^2 + BC^2$
Немного поколдуем:
$AB^2 = \frac{BC^2}{tg^2 \angle A} + BC^2 \\ AB^2 = \frac{BC^2 + BC^2 \cdot tg^2 \angle A}{tg^2 \angle A} \\ AB^2 = \frac{BC^2( 1 + tg^2 \angle A)}{tg^2 \angle A} \\$
Отсюда найдем $BC$:
$AB^2 = \frac{BC^2( 1 + tg^2 \angle A)}{tg^2 \angle A} \\ BC^2 = \frac{AB^2 \cdot tg^2 \angle A}{1+tg^2 \angle A} \\ BC = \sqrt{\frac{AB^2 \cdot tg^2 \angle A}{1+tg^2 \angle A}}$
Теперь напомню зачем нам нужно было $BC:$
$AC = \frac{BC}{tg \angle A}$
Подставляем вместо $BC$ новую подстановку:
$AC = \frac{\sqrt{\frac{AB^2 \cdot tg^2 \angle A}{1+tg^2 \angle A}}}{tg \angle A}$
Отлично. В формуле для нахождения ответа не осталось ни одной неизвестной. Подставляем то, что есть в формуле. Из условия:
$tg \angle A = 2\sqrt{2}, AB = 6 cm$
Найдем, наконец, $AC:$
$AC = \frac{\sqrt{\frac{AB^2 \cdot tg^2 \angle A}{1+tg^2 \angle A}}}{tg \angle A} = \frac{\sqrt{\frac{(6 cm)^2 \cdot (2\sqrt{2})^2}{1+(2\sqrt{2})^2}}}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{\frac{36 cm^2 \cdot 8}{1+8}}}{2\sqrt{2}} =$
$= \frac{\sqrt{32 cm^2}}{2\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{32}{2} cm^2} \cdot \frac{1}{2} = \sqrt{16 cm^2} \cdot \frac{1}{2} = 4 cm \cdot \frac{1}{2} = 2 cm$
Это ответ.