Question

Найти объем правильной треугольной пирамиды, боковые ребра которой равны 8, и наклонены к плоскости основания под углом 60 градусов.

Answer 1

Дано: MABC- правильная пирамида, МА=МВ=МС=8, <MAO=<MBO=<MCO=60° (О- точка пересечерия медиан, биссектрис. высот ΔАВС)
найти:V

решение.
$V= \frac{1}{3}*S _{osn} *H$
$S_{osn} = \frac{a^{2} \sqrt{3} }{4}$ площадь правильного треугольника
по условию пирамида правильная, => высота пирамиды проектируется в центр треугольника - точка пересечения медиан, биссектрис, высот, которые в точке пересечение делятся в отношении 2:3 считая от вершины
высота правильного треугольника вычисляется по формуле:
$h= \frac{a \sqrt{3} }{2}$
$\frac{2}{3}h= \frac{2}{3} * \frac{a \sqrt{3} }{2}$
$\frac{2}{3} h= \frac{a \sqrt{3} }{3}$
ΔAMO: AM=8, <MAO=60°, =>  <AMO=30°
AO=AM/2 катет против угла 30° в 2 раза меньше гипотенузы.
АО=4
OM²=AM²-AO², OM²=8²-4², OM=4√3
$\frac{2}{3} h=4,=\ \textgreater \ \frac{a \sqrt{3} }{3} =4. a=4 \sqrt{3}$
$S _{osn} = \frac{(4 \sqrt{3} ) ^{2} * \sqrt{3} }{4} =12 \sqrt{3}$

$V= \frac{1}{3}*12 \sqrt{3}*4 \sqrt{3} V=48$