Дано : ΔABC, ∠C = 90°, CN = 1 см, NB = 2 см,
вписанная окружность (O; r)
Найти : S, r, R
Так как окружность вписана в треугольник, то стороны треугольника являются касательными к окружности. Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной в этой точке.
ON⊥CB, OK⊥AC, OM⊥AB
⇒ CKON - квадрат со стороной, равной радиусу вписанной окружности
⇒ r = CK = KO = JN = CN = 1 см
Отрезки касательных к окружности, проведённые из одной точки, равны
BM = BN = 2 см; AK = AM = x см
ΔABC :
BC = CN + BN = 1 см + 2 см = 3 см
AC = AK + KC = (x + 1) см
AB = AM + MB = (x + 2) см
Площадь прямоугольного треугольника можно вычислить через полупроизведение катетов или через произведение полупериметра на радиус вписанной окружности.
AC = x + 1 = 4 см; AB = x + 2 = 5 см
см²
Радиус описанной около прямоугольного треугольника окружности равен половине гипотенузы
см
ответ : S = 6 см², r = 1 см, R = 2,5 см
Объяснение:
1 . ΔАВС - прямокутний , CD⊥AB , тому СD² = AD * BD ;
4² = ( 13 - 3 )* 3 - неправильна рівність . Отже , АВ = 13 -
неправильне дане .
3 . У ромбі ОА = 1/2 АС = 1/2 *8 = 4 ; ОВ = 1/2 BD =
= 1/2 *6 = 3 . ΔAOB - прямокутний ( у ромбі діагоналі
взаємно перпендикулярні ) , тому АВ = √( ОА² + ОВ²) =
= √ ( 4² + 3² ) = 5 ; АВ = х = 5 .
5 . АС = х - діагональ квадрата , тому х = а√2 .
8 . ΔАВС - прямокутний , CD⊥AB , тому СD² = AD * BD ;
CD = √( 24 * 54 ) = 6 * 2 * 3 = 36 .
Із прямок. ΔАCD за Т. Піфагора х = √( 36² + 24² ) =
= 12√( 3² + 2² ) = 12√13 ; х = 12√13 .
Із прямок. ΔВCD за Т. Піфагора у = √( 36² + 54² ) =
= 18√( 3² + 2² ) = 18√13 ; у = 18√13 .
SinD=EP/HD => EP=DH*SinD.
SinD=GP/HC => GP=HC*SinD.
PH=√(GP*PE), как высота из прямого угла (<GHE=90°, так как опирается на диаметр GE). Тогда PH=SinD√(HD*CH).
Но √(HD*CH)=OH - высота из прямого угла в прямоугольном треугольнике СOD c <COD=90° (свойство трапеции: "В трапеции её боковая сторона видна из центра вписанной окружности под углом 90°"). А так как ОН=АВ/2=R, то РН=(АВ/2)*SinD.
Площадь четырехугольника EFGH равна сумме площадей треугольников EFG и EHG.
Sefg=(1/2)*EG*OF = (1/2)*AB*(1/2)AB=AB²/4.
Sehg=(1/2)*EG*PH = (1/2)*AB*(AB/2)*SinD=AB²*SinD/4.
Тогда площадь четырехугольника EFGH равна (AB²/4)*(1+SinD).
Площадь трапеции равна (1/2)*(BC+AD)*AB. Но поскольку в трапецию вписана окружность, то ВС+АD=АВ+СD (свойство: "В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований трапеции равна сумме длин её боковых сторон").
В треугольнике CDK: CK=CD*SinD, но СК=АВ, значит CD=AB/SinD.
Тогда Sabcd=(1/2)*(AB+AB/SinD)*AB =AB²*(1+1/sinD)/2.
По условию Sabcd=4*Sefgh. или (АВ²*(1+1/sinD)/2=4*(AB²/4)*(1+SinD).
Отсюда 1/SinD==2 и SinD=1/2.
ответ: острый угол D трапеции равен 30°.