В правильной треугольной пирамиде SABC с основанием ABC все ребра равны 6. а) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину S и перпендикулярной отрезку, соединяющему середины ребер AB и BC. б) найдите расстояние от плоскости этого сечения до центра грани SAB. ---------------------- Все ребра данной пирамиды равны. ⇒ все ее грани - равные правильные треугольники. По условию ВМ=МА; ВN=NC⇒ MN - средняя линия ∆ АВС. MN=AC:2=3 Искомая плоскость - осевое сечение пирамиды, перпендикулярное её основанию, т.е. ∆ SBH. SO- высота пирамиды; ВН -высота ∆ АВС. SM=SN- (апофемы равных граней равны.) ⇒ ∆ MSN- равнобедренный. BH⊥ MN и пересекает её в точке Р. SP- высота и медиана ∆ SMN. МР=PN=1,5 Пусть Е - центр грани SAB. По свойству правильного треугольника его центр - точка пересечения его медиан ( биссектрис, высот). Точка пересечения медиан треугольника делит их в отношении 2 : 1, считая от вершины треугольника ⇒ SE= 2/3 SM. SM=SA*sin(60º)=6*√3/2 SM=3√3 SE=2√3 Расстояние от точки до плоскости - длина перпендикулярного ей отрезка. Проведем ЕТ параллельно MN. Если одна из двух параллельных прямых перпендикулярна к плоскости, то и другая прямая перпендикулярна к этой плоскости. ⇒ ЕТ перпендикулярен плоскости SBH Рассмотрим ∆ SPМ и ∆ SKE (см. второй рисунок - нагляднее). ЕК||МР, угол при вершине S общий, угол SEK= углу SMP ⇒ ∆ SPМ ~ ∆ SKE Из их подобия следует отношение SE:SM=EK:MP EK=SE*MP:SM EK=2√3)*1,5:3√3 =1 ответ: расстояние от плоскости сечения до центра грани SAB равно 1(ед. длины).
Не знаю как по-другому записать выражение для периметра, кроме как через тригонометрические функции. Наверное нет другого
Второе основание, назовём его А, выразится так: А = В + 2 * h / tg(Альфа)
Боковые стороны (возьмём сразу обе), назовём их L, будут такие: 2 * L = 2 * h / sin(Альфа)
Периметр равен сумме оснований и обеих боковых сторон Р = В + А + 2 * L P = B + B + 2 * h / tg(Альфа) + 2 * h / sin(Альфа) = 2 * ( В + h *( cos(Альфа) / sin(Альфа) + 1 / sin(Альфа) )) = 2 * ( В + h * ( cos(Альфа) + 1 ) / sin (Альфа) )
Как-то так у меня получается. Лучше проверь за мной.
сумма первых 12 членов = 312