Биссектриса угла треугольника делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника. СЕ:ЕВ=АС:АВ; 10:ЕВ=20:АВ По свойству пропорции 20ЕВ=10АВ АВ=2ЕВ Пусть ЕВ=х, тогда АВ=2х
AD:DC=AB:BC 8:12=2x:(x+10) 12·2x=8·(x+10) 24x=8x+80 24x-8x=80 16x=80 x=5 ЕВ=5 см АВ=2х=10 см ВС=ВЕ+ЕС=5+10=15 см АС=AD+DC=8+12=20 cм
АО:ОЕ=АВ:ВЕ=10:5=2:1 О т в е т. стороны треугольника 10 см; 15 см; 20 см. АО:ОЕ=2:1
Люблю простые и изящные решения, так что прийдется и мне вмешаться. Смотри рисунок. Обозначим все что есть и еще х=АВ и у=ВЕ (это для простоты, чтоб меньше писать- я ленивый)
тогда из треуг. АВЕ и его бисс. ВО- 1)АО/ОЕ=х/у теперь мысленно или не мысленно "поворачиваем" рисунок (это чтоб понятнее было) и из треуг. САВ и его бисс. АЕ имеем 2) х/у=20/10 х/у=2 подставляем это в 1) и имеем АО/ОЕ=2
Точка К, из которой будет виден отрезок МN под наибольшим углом, будет находиться на общей окружности с точками М и N. При этом OK для неё является касательной. По свойству касательной и секущей ОК²=ОМ·ОN. Пусть ОМ=х, тогда ОN=OM+MN=x+6, 4²=x(х+6), х²+6х-4=0, х1=-8, отрицательное значение не подходит, х2=2. ON=2+6=8 дм - это ответ.
Теперь докажем, что отрезок MN виден из точки К под большим углом. Пусть радиус окружности около тр-ка КMN равен r. На стороне ОК в любом месте возьмём точку Р и опишем окружность около тр-ка РMN, радиусом R. ОР для неё является секущей, а для окружности, радиусом r - касательной, значит R>r. Формула хорды: l=2R·sin(x/2), где х - градусная мера хорды. ∠MKN=α, ∠MPN=β. Обратим внимание, что углы α и β - это половина градусной меры хорды. MN=2R·sinβ ⇒ sinβ=MN/2R. MN=2r·sinα ⇒ sinα=MN/2r. Сравним синусы, предположив, что они равны. MN/2R=MN/2r. 1/R=1/r, но R>r, значит 1/R<1/r, значит sinβ<sinα. Так как градусная мера хорды не может быть больше 180°, значит в формуле хорды 0°<α<90°, 0°<β<90°. В этом диапазоне синус угла тем больше, чем больше его градусная мера, значит α>β. Доказано.
СЕ:ЕВ=АС:АВ;
10:ЕВ=20:АВ
По свойству пропорции
20ЕВ=10АВ
АВ=2ЕВ
Пусть ЕВ=х, тогда АВ=2х
AD:DC=AB:BC
8:12=2x:(x+10)
12·2x=8·(x+10)
24x=8x+80
24x-8x=80
16x=80
x=5
ЕВ=5 см
АВ=2х=10 см
ВС=ВЕ+ЕС=5+10=15 см
АС=AD+DC=8+12=20 cм
АО:ОЕ=АВ:ВЕ=10:5=2:1
О т в е т. стороны треугольника 10 см; 15 см; 20 см.
АО:ОЕ=2:1