Два треугольника, которые можно совместить наложением, называются равными.
Из определения непосредственно следует: в равных треугольниках против равных сторон лежат равные углы и обратно — против равных углов лежат равные стороны.
Теорема 1 (первый признак равенства треугольников — по двум сторонам и углу между ними)
Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.
Дано: треугольник ABC и треугольник A_1B_1C_1, AB=A_1B_1, AC=A_1C_1, \angle{A}=\angle{A_1}.
Требуется доказать: треугольник ABC равен треугольнику A_1B_1C_1.
Доказательство:
Доказывается наложением одного из треугольников на другой. Треугольники полностью совместятся, следовательно, по определению они равны.
\boxtimes
Теорема 2 (второй признак равенства треугольников — по стороне и двум прилежащим углам)
Если сторона и два прилежащих к ней угла одного треугольника соответственно равны стороне и двум прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Сделайте чертеж, запишите, что дано и что требуется доказать, и докажите наложением треугольников.
Теорема 3 (третий признак равенства треугольников — по трем сторонам)
Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
Запишите сокращенно условие и заключение теоремы.
Доказательство:
Для доказательства приложим треугольники большими сторонами. Треугольник A_1B_1C_1 займет положение AB_2C. Треугольник BAB_2 и треугольник BCB_2 — равнобедренные. Из равенства углов при основании получаем, что B=B_
Объяснение:
В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О. Угол COD равен 32°. Найдите углы ODA, OAB, BOC, BOA.
- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -
Дано :
Четырёхугольник ABCD - прямоугольник.
АС∩BD = O.
∠COD = 32°.
Найти :
∠ODA = ?
∠ОАВ = ?
∠ВОС = ?
∠ВОА = ?
∠ВОА = ∠COD = 32° (так как вертикальные).
∠ВОС + ∠COD = 180° (так как смежные) ⇒ ∠ВОС = 180° - ∠COD = 180° - 32° = 148°.
Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам.Следовательно, АО = ВО = СО = DO.
Рассмотрим ΔCOD - равнобедренный (по определению).
По теореме о сумме углов треугольника - ∠COD + ∠OCD + ∠ODC = 180° ⇒ ∠OCD + ∠ODC = 180° - ∠COD = 180° - 32° = 148°.
Учитываем, что углы при основании равнобедренного треугольника равны - ∠ODC = ∠OCD = 148° : 2 = 74°.
Тогда ∠ODA + ∠ODC = 90° ⇒ ∠ODA = 90° - ∠ODC = 90° - 74° = 16°.
Рассмотрим ΔВОА - равнобедренный (по определению).
По теореме о сумме углов треугольника - ∠ВОА + ∠ОАВ + ∠ОВА = 180° ⇒ ∠ОАВ + ∠ОВА = 180° - ∠ВОА = 180° - 32° = 148°.
Учитываем, что углы при основании равнобедренного треугольника равны - ∠ОАВ = ∠ОВА = 148° : 2 = 74°.
∠ODA = 16°, ∠ОАВ = 74°, ∠ВОС = 148°, ∠ВОА = 32°.
BC/ sinA= AC/ sinB=AB/sinC=2R; AB/sinC=2R
R=AB/2sinC= 18/2*√2/2=18/√2=9√2 (см)