Найти площадь треугольника, координаты вершин которого А(-1;-7), В(3;1) и С(4;-13).
Есть несколько вариантов решения.
1) Прямо по координатам вершин по формуле:
Пусть точки A1(x1; y1), A2(x2; y2), A3(x3; y3) - вершины треугольника, тогда его площадь выражается формулой:
1/2 |x1-x3 y1-y3|
|x2-x3 y2-y3|
В правой части стоит определитель второго порядка. Площадь треугольника всегда положительна.
Решение. Принимая A за первую вершину, находим:
x1-x3 y1-y3
x2-x3 y2-y3 =
-1 - 4 -7 - (-13)
3 - 4 1 - (-13) =
-5 6
-1 14 = -5*14 - (-1)*6 = -64
По формуле получаем:S = (1/2)*|-64| = 32 кв. ед.
2) вышеприведенное решение - основано на векторном произведении.
Площадь равна половине модуля векторного произведения векторов
АВ и АС.
Находим векторы.
АВ = (3-(-1); 1-(-7)) = (4; 8)
АС = (4-(-1); -13-(-7)) = (5; -6).
Находим их векторное произведение с применением схемы Саррюса.
i j k| i j
4 8 0| 4 8
5 -6 0| 5 -6 = 0i + 0j - 24k - 0j - 0i - 40k = 0i + 0j - 64k.
Модуль равен √(0² + 0² + (-64)²) = 64.
Тогда площадь S = (1/2)*64 = 32 кв. ед.
3) Можно применить формулу Герона, предварительно определив длины сторон.
Координаты векторов сторон
АВ (c) BC (a) AС (b)
x y x y x y
4 8 1 -14 5 -6
Длины сторон АВ (с) = 16 64 80 = 8,94427191
BC (а) = 1 196 197 = 14,03566885
AC (b) = 25 36 61 = 7,810249676
Полупериметр р = 15,39509522
Площадь по Герону 15,39509522 6,450823307 1,359426369 7,584845541 = 32.
А)Не подходит, т.к. 180-(65+55)=60
Б)Не подходит, т.к. 180-(44+90)=46
В)Не подходит, т.к. 180-(80+30)=70
Г)Да, подходит, т.к. 180-80=100; 180-(100+40)=40. Следовательно треугольник равнобедренный.
№2.
180:(5+4+3)=15
15*5=75
ответ: больший угол треугольника равен 75 градусов.
№3
Треугольник ВМС-равнобедренный, т.к. ВМ=МС. Треугольник ВМА тоже равнобедренный, т.к. ВМ=АМ.
Рассмотрим треугольник ВМА:
Угол ВМА=180-28-28=124 (так как угля при основании равны 28 в данном случае).
Углы ВМА и ВМС-смежные, значит ВМС=180-124=56.
Следовательно, (180-56)/2=62.
ответ: СВМ=62
№4.
Расстояние от точки к до прямой АВ назовём КМ.
Рассмотрим треугольник АКМ:
Угол АМК=90. Т.к. катет КМ=9/18=1/2 АК, то угол КАМ=30.
Так ка АК -биссектриса, то угол САК=углуКАМ=30.
Рассмотрим треугольник АКС:
1)угол АСК=90
2) угол САК=30
Значит угол АКС=180-90-30=60.
Углы АКВ и АКС -смежные, значит угол АКВ=180-угол АКС=180-60=120.
ответ: 120.