Question

Напишите подробно. 1. в параллелограмме авсд диагонали перпендикулярны, а периметр равен 52. найдите диагональ ас, если диагональ вд=10. 2, докажите, что сумма расстояний от любой точки, лежащей внутри треугольника, до его вершин больше полупериметра треугольника. 3. центр описанной около трапеции окружности лежит на одной из ее сторон. найдите площадь этой трапеции, если радиус равен 2, а одна из боковых сторон равна меньшему основанию.

Answer 1

1
Если в параллелограмме диагонали перпендикулярны,то это ромб.У ромба все стороны равны.Периметр равен 52см,значит сторона равна 52:4=13см.Диагонали точкой пересечения делятся пополам.
Пусть О-точка пересечения.Тогда ВО=1/2*BD=1/2*10=5см
АО найдем по теореме Пифагора
АВ²=АО²+ВО²
13²=АО²+5²
АО²=169-25=144
АО=12см
Отсюда АС=2*АО=2*12=24см
2
Пусть точка М лежит внутри треугольника.Соединим точку с вершинами данного треугольника.
Используем неравенство треугольника:сумма двух сторон треугольника всегда больше третьей стороны.Тогда
AM+BM>AB
AM+CM>AC
BM+CM>BC
прибавим
2(AM+BM+CM)>AB+BC+AC
AM+BM+CM>(AB+BC+AC)
AM+BN+CN>P/2
 3
Соединим центр с вершинами трапеции.Построим во второй части симметричную данной трапецию.Так как боковые грани трапеции равны меньшему основанию,то мы получили правильный шестиугольник вписанный в окружность.Все стороны 6 треугольников равны 2,все треугольники правильные.
Площадб трапеции будет равна половине площади шестиугольника  или 3 площадям правильных треугольников со стороной 2.
Площадь треугольника равна половине произведения квадрата стороны на синус 60 гр
Площадь трапеции равна 3*1/2*2²*√3/2=3√3

Answer 2

1.
ABCD - параллелограмм ;
P = 2(AB +BC ) =52 ; 
BD ⊥ AC ;
BD =10 .

AC - ?

 Если  в параллелограмме  диагонали перпендикулярны  ⇒ ABCD 
ромб (Действительно , пусть O  точка пересечения диагоналей  BD и  AC ; в  точке  пересечения  диагонали  делятся пополам   AO = CO   и 
 BO =DO   ||=5 || ,  т.е.  в  треугольнике  ABD    AO  и медиана ,и  высота ,  значит  A B =  A D  = P / 4 = 52/4 =13.  Из  ΔAOD ( или ΔAOB) по теореме 
Пифагора  AO =√ (A B² -  BO²)  =√ (13² -  5²)  =12⇒ AC = 2 AO =2*12 =24.

ответ : 24.
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
2. 
M  произвольная точка внутри  Δ ABC

MA +MB +MC > ( AC+ AB +BC) /2 →?

Пусть  ABC любой  треугольник  ,  а  M  произвольная точка внутри  него 
MA + MC > AC ;
MA + MB >  AB ;
MB + MC >  BC  .
Сложим эти три неравенства и получаем 
2(MA +MB +MC) > AC+ AB +BC
 2(MA +MB +MC) > P  ⇒ MA +MB +MC > P / 2 , что и требовалось доказать.
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * 
!  Гораздо интереснее доказать , что MA +MB +MC < P .
таким образом  получить  P/2 <  MA + MB + MC < P.
* * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
3.  
ABCD - трапеция :  AD | |  BC и    AD  >   BC ; 
AO = DO  =R =2 ;
AB = BC .

S = S (ABCD ) - ?  
 
Только  около  равнобедренной трапеции можно описать окружность. Действительно  ∠ABC + ∠BAD =180° и  ∠ABC + ∠CDA =180 ° ⇒ ∠BAD=∠CDA или по другому ◡ AB = ◡ CD  (как дуги  между параллельными хордами  AD  и  BC ), значит и AB = CD ⇒ ∠BAD = ∠CDA .
Если центр лежит на одной из ее сторон трапеции, то эта сторона большое основание  (OA =OD =R) . AВ _ диаметр.
По условию задачи  AB = BC ⇒ ◡ AB = ◡BC,  но ◡ AB = ◡ CD ,   ◡AB = ◡BC = ◡ CD = 180°/3  =60°. У равнобедренных треугольников AOB , COD , BOC
один угол 60 °  следовательно  они  равные и  равносторонние : 
 Поэтому  S= 3*S(DOC) =3 *(2²√3) /4 =3√3 . 

ответ : 3√3 .

*  *  *  * Четырехугольники ABCO и  DCBO  являются ромбами.