Точка касания окружности с BC - T; P - точка пересечения NT и BM; Ясно, что NT II AC. поэтому BN/AN = BP/PM; Задано, что BK/KM = 4/3; поэтому KM/BM = 3/7; BK/BM = 4/7; BP/BM = PT/MC; из подобия BPT и BMC; PT/MC = PT/AM = PK/KM; из подобия KPT и AKM; то есть BP/BM = (BK - BP)/KM; или (BP/BM)*(KM/BM) = BK/BM - BP/BM; (BP/BM)*(1 + KM/BM) = BK/BM; (BP/BM)*(1 + 3/7) = 4/7; Получилось BP/BM = 2/5; что дает PM/BM = 3/5; BP/PM = 2/3; Окончательно BN/AN = BP/PM = 2/3; поскольку AN = AM = AC/2 = 6; то BN = 4; Треугольник ABC получился составленным из двух "египетских" треугольников - его стороны 10,10,12, откуда легко найти, что высота к основанию AC равна 8; R = 10*10*12/(4*8*12/2) = 100/16 = 25/4;
Все сложности с решением на самом деле происходят от незнания теорем Чевы и Ван-Обеля. Я не могу понять, то ли эти теоремы не входят в программу (как было в моё время), то ли это "на усмотрение учителей". По-моему - глупость. Смотрите, как эта задача решается с теоремы Ван-Обеля. BN/NA + BT/TC = BK/KM; откуда BN/NA = 2/3; далее - по тексту. Фактически приходится доказывать это для частного случая.
Пусть P — точка пересечения отрезков BL и AM. Треугольник ABM — равнобедренный, т.к. его биссектриса BP является высотой. Поэтому AP = PM = 2, BC = 2BM = 2AB. По свойству биссектрисы треугольника CL/AL=BC/AB=2, т.е. AC = 3AL. Проведём через вершину B прямую, параллельную AC. Пусть K — точка пересечения этой прямой с продолжением медианы AM. Тогда BK = AC = 3AL. Из продобия треугольников APL и KPB следует, что PL/BP=AL/BK=1/3 Поэтому PL = 1 и BP = 3. Следовательно, АВ²=АР²+ВР²=4+9=13, АВ=√13 ВС=2АВ=2√13 АL²=АР²+PL²=4+1=5. PL=√5 AC=3√5 ответ √13, 2√13, 3√5
