Question

Докажите, что сумма расстояний от любой точки основания равнобедренного треугольника до его боковых сторон равна высоте треугольника, проведённой к его боковой стороне.

Answer 1

Пусть T - произвольная точка, взятая на основании AB.
Проведём отрезок СT.
$S_{TCB} = \frac{1}{2}TK*CB$
$S_{ACT} = \frac{1}{2} LT*AC$
$S_{ABC} = \frac{1}{2}AC*BH$
Но также по свойству площадей: 
$S_{ABC} = S_{TCB} + S_{ACT}$
Учитывая то, что у равнобедренного треугольника боковые стороны равны, т.е. AC = CB, получим:
$\frac{1}{2} AC*BH = \frac{1}{2}AC*LT+ \frac{1}{2} AC*TK \\ AC*BH = AC*(LT + TK)$
$\boxed{BH = LT + TK}$, что и требовалось доказать.