Вравнобокой трапеции основания равны 4 см и 6см, а боковая сторона образует с большим основанием угол 30 градусов. найдите высоту и боковую сторону трапеции.
Ничего задачка, можно нарушить самозапрет на публикации. Вся идея состоит в том, что у треугольников общая описанная окружность, а площадь можно выразить через радиус окружности и углы. S = a*b*sin(γ)/2 = 2*R*sin(α)*2*R*sin(β)*sin(γ)/2 = 2*R^2*sin(α)*sin(β)*sin(γ); Пусть высоты CM BN и AP; (просто таким образом я определяюсь, на какой дуге лежит какая из точек M, P, N, по хорошему это все равно, как обозначить.) Пусть ∠CAB = α = π/3; ∠CBA = β = π/4; Тогда ∠ACM = ∠NBA = π/2 - π/3 = π/6; А ∠APM = ∠ACM; ∠APN = ∠ABN; (высоты ABC являются биссектрисами треугольника MNP, также как для ортотреугольника) То есть ∠NPM = 2*(π/2 - α) = π - 2*α = π/3; Аналогично ∠NPM = 2*(π/2 - β) = π - 2*β = π/2; (получился прямоугольный треугольник) Так как sin(2α) = 2*sin(α)*cos(α), то очевидно, что Smnp/Sabc = 8*cos(α)*cos(β)*cos(α + β); Если подставить, получится 8*cos(π/3)*cos(π/4)*cos(π/3 + π/4); в данном случае надо взять по абсолютной величине, разумеется (то есть не обращать внимания, что cos(7π/2) < 0; а просто отбросить знак) 8*(1/2)*(√2/2)*l(√2/4 - √6/4)l = √3 - 1;
АС - основание, значит угол С лежит при основании. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Сумма углов треугольника равна 180 градусов. Внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольник, несмежных с ним. Т. к. внешний угол при вершине С - смежный с углом С, их сумма равна 180 градусов. Угол С равен 180-120=60 градусов. Угол А = угол С (углы при основании равнобедренного треугольника) = 60 градусов. Угол В равен 180-(60+60)=60 градусов. Т. к. все углы треугольника равны 60, треугольник равносторонний. В равностороннем треугольнике все стороны равны, следовательно, все стороны в треугольнике АВС равны 42 см (АВ=ВС=АС=42 см).
Пусть АВСД трапеция, АД и ВС -основания, ВМ и СК - высоты и угол А=30 гр. Так как ВС=4,то и МК=4, АМ=КД=(6-4)/2=1( т.к. трапеция равнобокая).
Рассмотрим треугольник АВМ. Он прямоугольный с углом в 30 градусов.
По теореме ВМ=1/2АВ. Пусть ВМ=х, тогда АВ=2х. По теореме Пифагора
(2х)^2=x^2+1. 4x^2-x^2=1. 3x^2=1. x^2=1/3/ x=корень из 3/3=ВМ
АВ=2корня из 3/3