Обозначим треугольник АВС, СН- высота, угол САН=55°
Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°. Значит, меньший ∠СВА=90°-55°=35°
Высота делит исходный треугольник на два прямоугольных.
АС - меньший катет. ∠САН=55°, ⇒ ∠АСН=90°-55°=35°
ВС - больший катет. ∠СВН=35°, ⇒ ∠ВСН-90°-35°=55°
Обратим внимание на то, что углы в треугольниках, на которые высота разделила∆ АВС, равны как в них, так и в исходном.
Мы получили одно из важных свойств высоты прямоугольного треугольника.
Высота в прямоугольном треугольнике, проведенная из вершины прямого угла, разбивает прямоугольный треугольник на два подобных треугольника. Кроме того, каждый из этих треугольников подобен исходному.
Так как пирамида правильная, то боковые рёбра равны треугольник боковой грани равнобедренный, а учитывая то, что угол при его вершине равен 60°, он ещё и правильный, то есть равносторонний, значит все рёбра пирамиды равны.
Высота пирамиды имеет основание в центре описанной окружности около основания пирамиды.
Пусть сторона основания (ребро пирамиды) равна а, тогда R=a/√3.
В прямоугольном треугольнике, образованном высотой пирамиды, её боковым ребром и радиусом описанной около основания окружности:
a²=R²+h²,
a²=a²/3+4²,
a²-16=a²/3,
3а²-48=а²,
2а²=48,
а²=24.
Площадь боковой грани: S=a²√3/4=24√3/4=6√3 см².
Площадь боковой поверхности: Sб=3S=18√3 см² - это ответ.