Найдите площадь основания и площадь боковой поверхности правильной n-угольной пирамиды, если n=4, высота пирамиды равна h , а боковое ребро образует с высотой пирамиды угол бета (h=4см, бета =60 градусов
Построение ясно из рисунка. Поскольку плоскость проходит через точки В,С и М, значит она проходит через среднюю линию MN грани АСD, параллельную ребру ВС. Продлим прямые ВМ и СN до их пересечения в точке Р. Треугольник ВРС равнобедренный, следовательно вершина S пирамиды SBPC спроецируется на высоту PF основания ВРС, являющуюся и медианой основания, в точке Н. Расположение точки Н на прямой PF зависит от угла SQF между плоскостями ВРС и АSВ. В нашем случае этот угол тупой, поэтому точка Н лежит вне грани АSD пирамиды SABCD.
Так как пирамида правильная, в основании - квадрат. Диагональ квадрата равна в нашем случае 6√2. Ее половина ОС=3√2. Высота пирамиды по Пифагору SO=√(SC²-OC²)=√(144-18)=3√14. Необходимо найти перпендикуляр SH к плоскости BCMN. Вариант решения - через подобие прямоугольных треугольников SHE и FOE по равным острым углам при вершине Е. Углы SHE и EOF - прямые. Из этого подобия имеем соотношение: SH/FO=SE/EF и SH=FO*SE/EF. Высота пирамиды SO=3√14 (по Пифагору из треугольника SOC). Тогда QG=0,5*SO (так как MN - средняя линия треугольника ASD, и значит QG - средняя линия треугольника KSO). Из подобия треугольников QGF и EOF имеем ЕО=FO*QG/FG. FO=3, QG=1,5√14, FG=4,5. Тогда ЕО=3*1,5√14/4,5=√14 и, следовательно, SE=SO-EO=2√14. EF находим из треугольника EOF по Пифагору: EF=√(OF²+OE²)=√(9+14)=√23. Тогда SH=3*2√14/√23. ответ: SH=6√14/√23.
Пусть даны два прямоугольных треугольника АВС и А1В1С1, у которых <А=<А1=90°, <C=<C1 и высоты АН и А1Н1 равны. Тогда и <B=<B1, так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90°, то есть <B=90-С, а <D1=90-С1. Высоты АН и А1Н1 делят треугольники АВС и А1В1С1 на подобные. Значит <BAH=<C, a <CAH=<B. Точно так же <B1A1H1=<C1, a <C1A1H1=<B1. Но <C=<C1 a <B=<B1. Значит <BAH=<B1A1H1, a <CAH=<C1A1H1. Тогда прямоугольные треугольники АВН и А1В1Н1 равны по катету (АН=А1Н1 -дано) и прилежащему острому углу (<BAH=<B1A1H1). Значит ВН=В1Н1. Прямоугольные треугольники АСН и А1С1Н1 равны по катету (АН=А1Н1 -дано) и прилежащему острому углу (<СAH=<С1A1H1). Значит СН=С1Н1. ВС=ВН+СН, В1С1=В1Н1+С1Н1. Отсюда ВС=В1С1. Гипотенузы треугольников ВС и В1С1 равны, острые углы их тоже равны, значит треугольники АВС и А1В1С1 равны по равенству гипотенузы и острому углу (третий признак). Что и требовалось доказать.
