Question

Сросно надо в треугольнике авс угол а равен 45 градусов, угол с равен 30 градусов, вс равен 6 см. найдите стороны ав и ас треугольника и его площадь.

Answer 1

<A+<B+<C=180°
45°+<B+30°=180°, <B=105°
теорема синусов:
$\frac{AB}{sinC} = \frac{BC}{sinA} = \frac{AC}{sinB}$
$\frac{BC}{sinA}= \frac{AB}{sinC}$
$\frac{6}{sin 45^{0} } = \frac{AB}{sin30 ^{0} } , AB= \frac{6*sin 30^{0} }{sin 45^{0} }$
$AB= \frac{6* \frac{1}{2} }{ \frac{ \sqrt{2} }{2} }, AB= \frac{6}{ \sqrt{2} } AB=3* \sqrt{2}$
$\frac{BC}{sin 45^{0} } = \frac{AC}{sin105^{0} } ,$
sin105°=sin(45°+60°)=sin45°cos60°+cos45°sin60°=
$= \frac{ \sqrt{2} }{2}* \frac{1}{2} + \frac{ \sqrt{2} }{2}* \frac{ \sqrt{3} }{2} = \frac{ \sqrt{2}*(1+ \sqrt{3} ) }{4}$
$AC= \frac{BC*sin 105^{0} }{sin 45^{0} }$
$AC=6* \frac{ \sqrt{2}*(1+ \sqrt{3} ) }{4} : \frac{ \sqrt{2} }{2}$
$AC=3*(1+ \sqrt{3} )$
$S_{ABC} = \frac{1}{2}*AB*AC*sinA$
$S_{ABC}= \frac{1}{2}*3 \sqrt{2}*3*(1+ \sqrt{3} ) *sin 45^{0}= \frac{9 \sqrt{2} }{2}*(1+ \sqrt{3} ) * \frac{ \sqrt{2} }{2} =$
$=4,5*(1+ \sqrt{3} )$

ответ: $AB=3* \sqrt{2} AC=3*(1+ \sqrt{3} ) S_{ABC} =4,1*(1+ \sqrt{3} )$