Ввершине тетраэдра сидит жук. он хочет проползти по каждому ребру и вернуться в исходную точку. укажите кратчайший путь жука и найдите длину, если ребро тетраэдра равно 1.
Очевидно, что лучше как можно меньше совершать кругов. Но избежать их совсем не получится. Обозначим верхнюю точку D, а нижние A,B,C по часовой стрелке, начиная с самой левой. Ясно, что нам придется совершать круг внизу. Можно, конечно, пробегать по боковым граням (по их ребрам), но там получатся пробежки по одним и тем же ребрам по 2 раза, и количество таких пробежек больше одной.
Пробежка по низу ведется через боковое ребро. Допустим, это DA.
Тогда путь DA->AC->CB->BD->DA->AB->BC->CA (8). Это один из путей.
Можно путь DA->AC->CB->BA->AD->DC->CB->BD (8). Ещё один путь.
Вообще можно все представить как граф и его исследовать. Можно и просто, как я, но здесь минимальный такой путь равен 8.
1) Наверное, все-таки, РАВНЫЕ отрезки, а не РАЗНЫЕ ?..)) По теореме Фалеса параллельные прямые откладывают на сторонах угла пропорциональные отрезки. Так как оба отрезка равны, то прямая, проведенная через концы этого отрезка будет параллельна основанию треугольника и, следовательно, будет перпендикулярна медиане к основанию. Последнее следует из того, что в равнобедренном треугольнике медиана к основанию является также биссектрисой угла при вершине и высотой данного треугольника. Так как данный отрезок перпендикулярен медиане и делится ей пополам так же, как и основание, можно утверждать, что расстояния от концов отрезка до любой точки на медиане будут равны между собой.
2) Так как CED - равнобедренный, то ∠ECD = ∠EDC => ∠ECM = ∠MCD = ∠EDH = ∠HDC Тогда ΔHDC = ΔMCD по стороне и двум углам: (CD - общая, ∠HDC = ∠MCD, ∠HCD = ∠MDC) Отсюда следует, что HC = MD.
В ΔСАН и ΔMAD: HC = MD, ∠HCM = ∠MDA, ∠MAD = ∠HAC => эти треугольники равны по стороне и двум углам
Вот смотри. Есть любой n-угольник. Мы в нем рисуем все возможные диагонали. В результате из каждого угла выходит n-1 отрезков к остальным n-1 углам. Но к двум соседним углам идут стороны, а к остальным диагонали. Поэтому из каждой вершины выходит n-1-2 = n-3 диагоналей. А всего диагоналей в n-угольнике будет n*(n-3) Но каждая диагональ соединяет два угла. Отрезок XY ничем не отличается от отрезка YX. Поэтому количество диагоналей надо разделить на 2. Получается: n(n-3)/2. Для 11-угольника это будет 11*8/2 = 11*4 = 44 диагонали.
Очевидно, что лучше как можно меньше совершать кругов. Но избежать их совсем не получится. Обозначим верхнюю точку D, а нижние A,B,C по часовой стрелке, начиная с самой левой. Ясно, что нам придется совершать круг внизу. Можно, конечно, пробегать по боковым граням (по их ребрам), но там получатся пробежки по одним и тем же ребрам по 2 раза, и количество таких пробежек больше одной.
Пробежка по низу ведется через боковое ребро. Допустим, это DA.
Тогда путь DA->AC->CB->BD->DA->AB->BC->CA (8). Это один из путей.
Можно путь DA->AC->CB->BA->AD->DC->CB->BD (8). Ещё один путь.
Вообще можно все представить как граф и его исследовать. Можно и просто, как я, но здесь минимальный такой путь равен 8.