Question

Пусть r - радиус окружности, вписанной в треугольник abc, а радиусы трех вневписанных окружностей (вневписанная окружность касается одной стороны треугольника и продолжений двух других). доказать, что

Answer 1

Полупериметр p = (a + b + c)/2;
p = (p - a) + (p - b) + (p - c);
поэтому
S/r = S/r1 + S/r2 + S/r3; собственно всё.

Конечно, надо знать, что S = (p - a)*r1; доказывается это точно также, как с вписанной окружностью - соединяются вершины с центром вневписанной окружности, и считаются площади получившихся треугольников с высотами r1. Сторона a - как раз та, которой касается вневписаная окружность между вершинами, а не на продолжении.