Question

Дано рівнобедрений трикутник abc. його основа ab і висота сд дорівнюють 3 і 4 відповідно. через вершини а і в та середину о висоти сд икутника проведено прямі, що перетинають його бічні сторони в точках к і л. знайдіть площу трикутника *яжіть будь ласка.

Answer 1

АВ=3, СД=4, СО=ОД.
S(CKL)=?

Рассмотрим треугольник АСД и наклонную ВК. К∈АС.
По теореме Менелая (АК/КС)·(СО/ОД)·(ВД/АВ)=1.

Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является медианой, значит АД=ВД ⇒ ВД:АВ=1:2.

(АК/КС)·(1/1)·(1/2)=1,
АК/КС=2:1.

Треугольники АОД и ВОД равны по двум сторонам и прямому углу между ними, значит ∠ОАД=∠ОВД.
Треугольники ALB и ВКА равны по общей стороне АВ и прилежащим к ней углам, значит АК=BL, значит СК=CL, значит треугольник CKL равнобедренный, значит треугольники АВС и CKL подобны.

Коэффициент подобия тр-ков АВС и CKL: k=AC/КС.
АК:КС=2:1 ⇒ АС:КС=3:1=k.
Коэффициент подобия площадей тр-ков АВС и CKL k²=3²=9.

S(ABC)=АВ·СД/2=3·4/2=6,

S(CKL)=S(ABC)/k²=6/9=2/3 (ед²) - это ответ.