Sabcd - правильная четырёхугольная пирамида, p и q середины bc и ad, точка м отмечена так, что sm: md = 1: 4 докажите, что сечение (mpq)- равнобедренная трапеция.
В основании правильной четыреухгольной пирамиды SABCD лежит квадрат, а боковые грани - равные равнобедренные треугольники.
Точка М не лежит на отрезке SO, т.к. такое сечение является треугольником с вершиной в точке S. Точка М не лежит в плоскости основания пирамиды, т.к. через прямую и точку, которая не лежит на ней, можно провести только одну плоскость (теорема) ⇒ точка М отмечена на боковом ребре. Проводим плоскость α через точку М и отрезок PQ.
(ОФФТОП - без разницы на каком боковом ребре, возьмем для удобства SD)
Согласно теореме, через точку (М), лежащую вне прямой *b* (которой принадлежит отрезок PQ) можно провести прямую, параллельную этой прямой, и к тому же только одну. Через точку М проводим прямую *с*, параллельную PQ. Прямая *с* и боковое ребро SC пересекаются в точке N. PQ II MN и PQ II CD ⇒ СD II MN т.к. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельные между собой (теорема) Боковая грань SCD - равнобедренный треугольник с равными углами при основании ⇒ MNCD - равнобедренная трапеция.
Треугольники MDQ и NCP равны по двум сторонам и углу между ними: MD = NC (как боковые стороны равнобедренной трапеции) QD = PC (по условию) ∠MDQ = ∠NCP (как углы при основании равных равнобедренных треугольников) ⇒ MQ = NC
Четыреухгольник, у которого 2 стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны и равны, является равнобедренной трапецией.
Для того,что бы найти площадь, нужно иметь основание и высоту,проведенную к ней. Тогда проведем эту высоту к стороне, равной 25 см (около угла в 150 градусов) У нас получился прямоугольный треугольник,где гипотенуза равна 15 см(она же она меньшая сторона параллелограмма) У нас дан угол 150 градусов,что бы найти угол в нашего треугольника, нужно из 150-90=60 (высота образовала перпендикуляр) Тогда другой угол в треугольнике равен 30 градусам. Известно,что катет, лежащий на против угла в 30 градусов, в 2 раза меньше гипотенузы (которая у нас равна 15 см) Следовательно, этот катет будет равен 7,5 см. И как раз этот катет является высотой,опущенной к стороне параллелограмма. Тогда найдем саму площадь: 7,5*25=187,5
Угол между плоскостью основания и противолежащей вершиной другого основания - это угол ОКС. Поскольку все ребра перпендикулярны основаниям, то треугольник КОС - прямоугольный с прямым углом С. И поскольку угол ОКС = 30 градусов, то катет ОС равен половине гипотенузы ОК как катет, что лежит против угла 30 градусов. ОК = 2СО = 6*2 = 12 см. Из теоремы Пифагора: CK^2 = OK^2 - OC^2, CK^2 = 12^2 - 6^2 = 144 - 36 = 108, CK = 6 корней из 6. Из правильного треугольника АВС: высота СК = 6 корней из 3, которая является также и медианой, поэтому АК = КВ = СВ/2. Из прямоугольного треугольника СКВ: угол СВК = 60 градусов как угол правильного треугольника. По теореме синусов: СК/sin(CBK) = CB/sin(CKB), CB = 12. Площадь треугольника равна 36 корней из 3 см^2. Объем призмы равен площади основания, умноженного на высоту: V = So*H = S(ABC)*OC = 108 корней из 3 см^3.
Точка М не лежит на отрезке SO, т.к. такое сечение является треугольником с вершиной в точке S.
Точка М не лежит в плоскости основания пирамиды, т.к. через прямую и точку, которая не лежит на ней, можно провести только одну плоскость (теорема) ⇒ точка М отмечена на боковом ребре. Проводим плоскость α через точку М и отрезок PQ.
(ОФФТОП - без разницы на каком боковом ребре, возьмем для удобства SD)
Согласно теореме, через точку (М), лежащую вне прямой *b* (которой принадлежит отрезок PQ) можно провести прямую, параллельную этой прямой, и к тому же только одну. Через точку М проводим прямую *с*, параллельную PQ. Прямая *с* и боковое ребро SC пересекаются в точке N.
PQ II MN и PQ II CD ⇒ СD II MN т.к. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельные между собой (теорема)
Боковая грань SCD - равнобедренный треугольник с равными углами при основании ⇒ MNCD - равнобедренная трапеция.
Треугольники MDQ и NCP равны по двум сторонам и углу между ними:
MD = NC (как боковые стороны равнобедренной трапеции)
QD = PC (по условию)
∠MDQ = ∠NCP (как углы при основании равных равнобедренных треугольников)
⇒ MQ = NC
Четыреухгольник, у которого 2 стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны и равны, является равнобедренной трапецией.