Восновании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с катетом а и противолежащим острым углом f. все боковые рёбра наклонены к плоскости основания под углом ß. найти объём пирамиды.
Если все боковые ребра наклонены под одним углом к основанию пирамиды, все боковые ребра равны, а вершина пирамиды проецируется в центр описанной около основания окружности. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника лежит на середине гипотенузы, т.е. основанием высоты (SO) пирамиды явялется середина гипотенузы (AC) основания пирамиды. В прямоугольном треугольнике ABC: Катет AB = a ∠ABC = 90° ∠ACB = f Тангенсом ∠ACB явялется отношение противолежащего ему катета AB к прилежащему катету BC.
tg(ACB) = AB / BC BC = AB / tg(ACB) BC = a / tg(f)
Площадь основания пирамиды SABC: Sосн = 1/2 * AB * AC Sосн = 1/2 * a * a / tg(f) = a² / (2tg(f))
Синусом ∠ACB является отношение противолежащего ему катета AB к гипотенузе AC sin(ACB) = AB / AC AC = AB / sin(ACB) AC = a / sin(f)
CO = AC / 2 a CO = 1/2 * a/sin(f) = -------------- 2sin(f)
В прямоугольном треугольнике SOC: Катет CO = a / (2sin(f)) ∠SCO = β SO = H пирамиды Тангенсом ∠SCO является отношение противолежащего ему катета SO к прилежащему катету CO
tg(SCO) = SO / CO SO = CO * tg(SCO) SO = CO * tg β a * tg β SO = a / (2sin(f)) * tg β = ------------------- 2sin(f) Объем пирамиды V = 1/3 * Sосн * H
Пирамида, у которой основание квадрат и грани равные, равнобедренные треугольники, называется правильной четырехугольной пирамидой. h - высота пирамиды, a - сторона основания. Апофема - это опущенный перпендикуляр из вершины пирамиды на сторону основания. Т.к.основание квадрат, то диаметр d=a√2 (можно по т.Пифагора проверить), тогда а=d/√2=6/√2=3√2 Апофема L , высота пирамиды h и расстояние от основания высоты до основания апофемы (1/2стороны основания) образуют прямоугольный треугольник. Из него найдем высоту h=√L²-(a/2)²=√4²-(3√2/2)²=√16-9/2=√23/2 Объем пирамиды V=1/3*а²*h=1/3*(3√2)²*√23/2=3√23 Sбок=1/2PL=1/2*4a*L=1/2*4*3√2*4=24√2
Итак, призма прямая и в основании - прямоугольный треугольник. Пусть стороны основания a, b и c, где с - гипотенуза, a и b - катеты. Тогда по Пифагору имеем: a²+b²=c² или b²=c²-a². Рассмотрим грани пирамиды. Это прямоугольники с диагоналями 4 см 7 см и 8 см. Причем диагональ 8 см - это диагональ прямоугольника на гипотенузе основания (она - большая). Тогда по Пифагору: h² = 8² - c² (1); h² = 4² - b² (2); h² = 7² - a² (3), где h - высота призмы. Подставим b²=c²-a² в (2): h² = 4² - (c²-a²). Приравняем (1) и (2): 64 - c² = 16 - c²+a². Отсюда a² = 48, тогда h² = 7² - a² = 1. h = 1cм ответ: высота призмы равна 1см.
P.S. Тот же ответ получится, если в (3) подставить a²=c²-b² и приравнять (1) и (3).
В прямоугольном треугольнике ABC:
Катет AB = a
∠ABC = 90°
∠ACB = f
Тангенсом ∠ACB явялется отношение противолежащего ему катета AB к прилежащему катету BC.
tg(ACB) = AB / BC
BC = AB / tg(ACB)
BC = a / tg(f)
Площадь основания пирамиды SABC:
Sосн = 1/2 * AB * AC
Sосн = 1/2 * a * a / tg(f) = a² / (2tg(f))
Синусом ∠ACB является отношение противолежащего ему катета AB к гипотенузе AC
sin(ACB) = AB / AC
AC = AB / sin(ACB)
AC = a / sin(f)
CO = AC / 2 a
CO = 1/2 * a/sin(f) = --------------
2sin(f)
В прямоугольном треугольнике SOC:
Катет CO = a / (2sin(f))
∠SCO = β
SO = H пирамиды
Тангенсом ∠SCO является отношение противолежащего ему катета SO к прилежащему катету CO
tg(SCO) = SO / CO
SO = CO * tg(SCO)
SO = CO * tg β
a * tg β
SO = a / (2sin(f)) * tg β = -------------------
2sin(f)
Объем пирамиды
V = 1/3 * Sосн * H
1 a² a * tg β a³ * tg β
V = --------- * ---------------- * --------------- = ----------------------------
3 2tg(f) 2sin(f) 12 * tg(f) * sin(f)