Окружность касается сторон AB и AD прямоугольника ABCD и пересекает DC в единственной точке F, а BC-в точке E.
Найти площадь AFCB, если AB=32, AD=40 и BE=1
————
АBCD- прямоугольник. ⇒
AFCB - прямоугольная трапеция. Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту.
S=0,5•(FC+AB)•BC
СF следует найти.
Проведем радиусы ОК и ОТ к АВ и АД соответственно.
АК=ОК=ОТ=ТА=R
Опустим из Е перпендикуляр ЕН на радиус ОК
КН=ВЕ=1⇒ НО=R-1
ЕН=ВК=АВ-R=32-R
По т.Пифагора из ∆ ОЕН
R²=(32-R)²+(R-1)²⇒
R²-66 R+1024=0 Решив квадратное уравнение, получим два корня:
R1=41; R2=25
Первый не подходит, т.к. больше, чем АВ, и будет касаться не АВ, а её продолжения.
R=ОЕ=25
Проведем ОМ перпендикулярно СD.
Основание СF=CM+MF
CM=BK=AB-R=7
MF=√(OF²-OM²)
OM=AD-R=40-25=15
MF=√(25²-15²)=20
CF=20+7=27
S=0,5•(27+32)•40=1180 ( ед. площади)
Поэтому если искомые отрезки обозначить как BD и DC, то BD/DC=AB/AC = 6/8
Но если BC=10см, то 10: (6+8)=10:14=0,71
BD=0,71*6≈4,28 см
DC=0,71*8≈5,72 см
Проверка: 4,28+5,72=10 (см) - сторона ВC