Диагонали ромба пересекаются под прямым углом и делят углы ромба пополам.
1) Две полудиагонали и сторона ромба образуют прямоугольный треугольник с одним из острых углов = alpha / 2; сторона ромба является гипотенузой, а одна из полудиагоналей (b) является катетом, прилежащим к этому углу -> длина этой полудиагонали = a * cos(alpha / 2)
2) Опущенная в этом треугольнике на гипотенузу (сторону ромба) высота (c) образует еще один прямоугольный треугольник с полудиагональю (b) и соответствующей частью стороны ромба; гипотенуза этого треугольника - полудиагональ (b) ромба, высота является катетом, лежащим напротив угла alpha / 2 - ее длина = длина полудиагонали * sin(alpha/2) = a * sin(alpha/2) * cos(alpha/2) = a/2 * sin(alpha)
3) Высота треугольника (c) и высота пирамиды (h) образуют прямоугольный треугольник, угол напротив высоты пирамиды = beta -> высота пирамиды (h) = высота треугольника (с) * tg( beta ) = a/2 sin(alpha) tg(beta)
Даны точки С(-1;5;3), D(3;-2;6), Е(7;-1;3), Н(3;6;0).
Доказательством, что ADEH - прямоугольник, будет равенство противоположных сторон и диагоналей.
Расстояние между точками определяем по формул:.
d = √((х2 - х1 )² + (у2 - у1 )² + (z2 – z1 )²).
АD = √(4² + (-7)² + 3²) = √74 ≈ 8,602325.
DE = √(4² + 1² + (-3)²) = √26 ≈ 5,099019.
EH = √((-4)² + 7² + (-3)²) = √ 74 ≈ 8,602325.
АH = √(4² + 1² + (-3)²) = √26 ≈ 5,099019.
Как видим, стороны попарно равны.
Находим диагонали.
АЕ = √(8² + (-6)² + 0²) = √100 = 10.
DH = √(0² + 8² + (-6 )²) = √100 = 10.
Диагонали тоже равны, доказано.