1. 24 см²
2. 5 см, 30 см²
3. 4√61 см, 60 см²
Объяснение:
1. Сторона треугольника равна 12 см, а высота, проведенная к ней, в три раза меньше стороны. Найдите площадь треугольника.
Площадь треугольника равна половине произведения стороны на проведенную к ней высоту.
АС = 12 см,
ВН = АС / 3 = 12 / 3 = 4 см
Sabc = 1/2 · AC · BH = 1/2 · 12 · 4 = 24 см²
2. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 12 см, а гипотенуза 13 см. Найдите второй катет и площадь треугольника.
По теореме Пифагора:
АС = √(АВ² - ВС²) = √(13² - 12²) = √(169 - 144) = √25 = 5 см
Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения катетов:
Sabc = 1/2 · AC · BC
Sabc = 1/2 · 5 · 12 = 30 см²
3. Диагонали ромба равны 10 см и 12 см. Найдите его площадь и периметр.
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам.
АО = 1/2 АС = 6 см
ВО = 1/2 BD = 5 см
ΔАОВ: ∠АОВ = 90°, по теореме Пифагора
АВ = √(АО² + ВО²) = √(6² + 5²) = √(36 + 25) = √61 см
Стороны ромба равны, поэтому
Pabcd = 4 · АВ = 4√61 см
Площадь ромба равна половине произведения диагоналей:
Sabcd = 1/2 · AC · BD = 1/2 · 12 · 10 = 60 см²
Каждое боковое ребро составляет с плоскостью основания угол в 45° - следовательно, все ребра равны, а их проекции равны радиусу описанной около основания пирамиды окружности, Основание высоты пирамиды - центр О описанной окружности. . Величина её радиуса АО равна 2/3 высоты основания.
AH=AB•sin60°=4√3/2=2√3
Высота МО перпендикулярна основанию
∆АМО - прямоугольный, острый угол МАО=45°, следовательно, второй АМО=45°, и высота пирамиды МО=АО=4/√3
Формула объёма пирамиды V=S•h:3
S(∆ABC)=AB²•√3/4=16√3/4=4√3
