Дано :
Четырёхугольник АВСD — прямоугольник.
Отрезки BD и AC — диагонали.
Точка О — точка пересечения диагоналей.
∠DOC = 20°.
Найти :
∠BDC = ?
∠DBC = ?
Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам.Отсюда AO = OC = OD = OB.
Рассмотрим ∆ODC — равнобедренный (по определению).
Следовательно ∠ODC = ∠DCO (по свойству равнобедренного треугольника).
По теореме о сумме углов треугольника —
∠DOC + ∠ODC + ∠DCO = 180°
∠ODC + ∠DCO = 180° - ∠DOC = 180° - 20° = 160°
∠ODC = ∠DCO = 160°/2 = 80°.
Рассмотрим ∆BDC — прямоугольный.
По теореме о сумме острых углов прямоугольного треугольника —
∠BDC + ∠DBC = 90°
∠DBC = 90° - ∠BDC = 90° - 80° = 10°.
80°, 10°.
Объяснение:
Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие его стороны, отсекает от него треугольник, подобный данному.
1. MN || BC => △AMN～ △AВС => MN/BC=AM/AB; AM=MN*AB/BC=5*18/15=6
2. PD || AC => △PBD～ △AВС => PD/AC=BD/BC; BC=AC*BD/PD=9*4/3=12
3. DE || AB => △ECD～ △BCA => CE/CB=DE/AB; CB=CE+BE=6+2=8; AB=CB*DE/CE=8*4/6=5 1/3 (пять целых одна третья)
4. MN || AC => △ABC～ △MBN => AC/MN=BC/BN;
AC/MN=5/12; BN=BC+CN=BC+8;
5/12=BC/(BC+8)
12BC=5(BC+8)
12BC=5BC+40
7BC=40
BC=40/7=5 5/7 (пять целых, пять седьмых)
∠ВРС = ∠DPA как вертикальные, значит
ΔCPB подобен ΔAPD по двум углам.
AP : AC = 7 : 9
Значит, АР составляет 7 равных частей, а РС - 2 таких части.
Из подобия треугольников:
АР : PC = AD : BC
7 : 2 = AD : 16
AD = 16 · 7 / 2 = 56