Abcd - прямоугольник.на продолжение стороны dc за точкой с взята точка p так, что угол pab = 50 градусов, pa ∩ bc = h , bh : hc = 3 : 2, ah = 10 см. а) доказать ,что треуг. abh подобен треуг. apd, б) s(треуг.apd) - ? мии
1. АВН и АРD Стороны квадрата параллельны, значит, углы ВАН и АРD равны как накрест лежащие при параллельных прямых. Так же равны углы АВН и АDP - как прямые углы квадрата. Углы ВНА и РНС -вертикальные при пересекающихся прямых. И углы РНС и РАD -соответствующие при параллельных прямых АD и ВС Теперь площадь. 3x=10*sin(50) x=10/3*sin(50) - AD=5x=50/3*sin(50) AD/PD=tg(50) PD=AD/tg(50)=50/3*sin(50)/tg(50)=50/3*cos(50) S(APD)=1/2*AD*PD=1/2*2500/9*sin(50)*cos(50)=625/9*2*sin(50)*cos(50)=625/9*sin(100)
Из рис.1 видим, что BD-биссектриса, значит ∠ADB=∠BDC. А ∠CBD=∠ADB как вертикальные. Поэтому углы BDC и CBD равны между собой. Значит треугольник BCD-равнобедренный, то есть BC=CD. Аналогично показываем, что АВ=ВС. Таким образом три стороны трапеции равны между собой.
Если за О обозначить точку пересечения диагоналей, то из рис.2 видим, что треугольники ВОС и DOA подобны (по трем углам). Причем коэффичиент подобия равен 5/13.
Обозначим за 5х - длинну основания ВС и 13х - длинну основания AD. Найдем, чему равняется KD. KD=(AD-BC)/2=(13x-5x)/2=4x.
По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике KCD: KD²+CK²=CD². CK - это высота трапеции, а CD=BC=5х. Тогда имеем: (4х)²+90²=(5х)² , 8100=9х², 900=х², х=30(см).
Значит ВС=5*30=150(см), а AD=13*30=390(см). Площадь трапеции равна S=h*(BC+AD)/2=90*(150+390)/2=90*270=24300(см²)
ABCD-равнобед трапеция. Диагональ делит ее на два треуг-ка, средняя линия трапеции есть средние линии этих треугольников. В одном она равна x, значит основание одно 2x, в другом x+8, значит второе основание 2x+16. Если из тупых углов опустить высоты к большему основанию , то то они отсекут от него по 8 см с каждой стороны. Р/м треугольник, у которого 8см это катет, в высота второй катет, а гипотенуза-боковая сторона трапеции. Один угол 90, другой при основании 60, значит третий 30, напротив него сторона равная 8, значит гипотенуза равна 16. Р=2x+16+16+2x+16=72; 4x=24;x=6. Большее основание =2x6+16=12+16=28
Стороны квадрата параллельны, значит, углы ВАН и АРD равны как накрест лежащие при параллельных прямых.
Так же равны углы АВН и АDP - как прямые углы квадрата.
Углы ВНА и РНС -вертикальные при пересекающихся прямых. И углы РНС и РАD -соответствующие при параллельных прямых АD и ВС
Теперь площадь.
3x=10*sin(50)
x=10/3*sin(50)
-
AD=5x=50/3*sin(50)
AD/PD=tg(50)
PD=AD/tg(50)=50/3*sin(50)/tg(50)=50/3*cos(50)
S(APD)=1/2*AD*PD=1/2*2500/9*sin(50)*cos(50)=625/9*2*sin(50)*cos(50)=625/9*sin(100)