Question

Нарисуйте треугольник с вершинами в узлах квадратной сетки со стороной 1, у которого все стороны длиннее 4, а площадь меньше 1.

Answer 1

В данном треугольнике каждая сторона больше 4, что можно доказать теоремой Пифагора (если рассматривать прямоугольные треугольники, где сторона начерченного является гипотенузой. Один из катетов везде больше или равен 4, другой - больше или равен 1, значит, гипотенуза больше большего, скажем так).

Разберёмся с площадью.
Площадь треугольника находится по формуле $S= \frac{ah}{2}$, отсюда: $\frac{ah}{2} \ \textless \ 1 \rightarrow ah\ \textless \ 2 \rightarrow h\ \textless \ \frac{2}{a}$
Пусть h - высота, проведённая к большей стороне, a - большая сторона. По теореме Пифагора она равна $\sqrt{9^2+2^2}= \sqrt{81+4}= \sqrt{85}\approx9$. Тогда $h\ \textless \ \frac{2}{9}$
Рассмотрим треугольник в системе координат с точкой, лежащей против большей стороны, в начале координат. Найдём уравнение прямой, на которой лежит большая сторона (y=kx+b). $k=tg\alpha= \frac{2}{9}$, $b=y-kx=1- \frac{2}{9} * 4=1- \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник из высоты и стороны на Oy, равной b. Действительно, если точка лежит на оси Oy, то её координата по x = 0, а значит, её координата y = k * 0 + b = b. В данном случае сторона на Oy будет гипотенузой, а высота - катетом. Следовательно, она меньше гипотенузы. Т. е. $h\ \textless \ \frac{1}{9} \ \textless \ \frac{2}{\sqrt{85}} }$ (доказательство того, что $\frac{1}{9} \ \textless \ \frac{2}{ \sqrt{85} }$, могу провести в комментариях, если потребуется), значит, $h\ \textless \ \frac{2}{a} \rightarrow ah\ \textless \ 2\rightarrow \frac{ah}{2} \ \textless \ 1\rightarrow S\ \textless \ 1$. Начерченный треугольник удовлетворяет всем условиям.