Дана трапеция ABCD AB и CD - основания. AB=3,BC=9,CD=15,AD=7.
Из точки В проводим отрезок ВЕ, равный и параллельный AD.
Получим треугольник ВСЕ с основанием СЕ = 15 - 3 = 12.
По теореме косинусов находим косинусы углов при основании этого треугольника, которые равны косинусам углов при основании трапеции.
cos A = 0,666666667 cos B = -0,111111111 cos С = 0,814814815
Аrad = 0,841068671 Brad = 1,682137341 Сrad = 0,618386642
Аgr = 48,1896851 Bgr = 96,37937021 Сgr = 35,43094469.
Далее по этим косинусам и сторонам трапеции находим диагонали.
Известно: две стороны а , в и угол между ними С.
Диагональ d2 равна :
a b d2 С градус С радиан
7 15 11,5758369 48,1896851 0,841068671.
Известно: две стороны а , в и угол между ними D.
Диагональ d1 равна :
a b d1 D градус D радиан
9 15 9,273618495 35,43094469 0,618386642.
Объяснение:
Дано:
AF и BD - прямые
AB = BС
∠АВС = 120°
АС - биссектриса ∠ВАЕ
∠CDE : ∠AED = 7 : 8
∠ DEF - ?
1) Сумма всех углов Δ = 180°:
∠ВАС + ∠В + ∠ВСА = 180° или
∠ВАС + ∠ВСА = 180° - 120° = 60°
2) ΔАВС - равнобедренный, т.к. АВ = ВС по условию.
В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Значит,
∠ВАС = ∠ВСА = 60° / 2 = 30°
3) АС - биссектриса ∠А по условию, следовательно,
∠ВАС = ∠ САЕ = 30°, а ∠ВАЕ = 2* 30° = 60°
4) ∠ВАЕ и ∠ АВС - односторонние углы, их сумма = 120° + 60° = 180°
Теорема: Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 1800, то прямые параллельны, значит,
АЕ ║BD
5) ∠CDE и ∠AED - тоже углы односторонние, и так как АЕ ║BD, то
∠CDE + ∠AED = 180° или
7х + 8х = 180° → х = 180°/15 = 12°
∠CDE = 7*12° = 84°
∠AED = 8 * 12 = 96°
6) ∠CDE = ∠DEF = 84°, так как они накрест лежащие углы при параллельных прямых BD и AE/
АЕ и АЖ - биссектрисы между сторонам и иэтой диагональю
Все 4 угла ВАЕ, ЕАС, САЖ, ЖАК равны, обозначим их x
В параллелограмме сумма соседних углов равна 180
4x + ∠ABC = 180°
И в треугольнике АЕВ
x+∠ABC+75° = 180°
x+∠ABC = 105°
---
вычтем из первого уравнения второе
3x = 180°-105° = 75°
x = 25°
∠ABC = 105°-x = 105°-25° = 80°
Это и есть меньший угол ромба.
Больший = 4x = 100°