1. ΔABC-правильный . R и r-радиусы вписанной и описанной окружностей. Выразите R через r.
a₃ = 2r√3 и a₃ = R√3 ⇒ 2r√3= R√3 , R=2r.
4. Найдите площадь равностороннего треугольника, вокруг которого описано окружность радиуса 3 см.
a₃ = R√3 ⇒ a₃ = 3√3 см
S(равностороннего треуг.)= 
⇒ S(равн.треуг.)= 
= 
(cм²)
5. Определите количество сторон правильного многоугольника углы которого равны 160 градусов.
Многоугольник правильный , поэтому сумма всех внутренних углов 160*n .
160*n=180(n-2) , 160n=180n-360 , 20n=360 , n=18. Количество сторон 18.
((n-2)/n*180- формула для нахождения углов в правильном многоугольнике )
6. В правильный треугольник ,сторона которого 4√3 cм, вписана окружность. Вокруг окружности описан квадрат. Найдите сторону квадрата.
a₃ = 2r√3 , 4√3= 2r√3 ⇒ r=2 см.
Квадрат описан около окружности, значит сторона квадрата равна
a₄ =2r или a₄ =4см.
k = a₂/a₁
a₁/b₁ = tg(∠A)
a₁ = b₁*tg(∠A)
По Пифагору
AB² = a₁²+b₁² = (b₁*tg(∠A))² + b₁² = b₁²(tg(∠A)² + 1)
AB = b₁√(tg(∠A)² + 1)
Площадь через катеты
S(ABC) = 1/2*a₁*b₁
Площадь через гипотенузу и высоту к ней
S(ABC) = 1/2*АВ*a₂
1/2*a₁*b₁ = 1/2*АВ*a₂
a₂ = a₁*b₁/AB = a₁/√(tg(∠A)² + 1)
k = a₂/a₁ = 1/√(tg(∠A)² + 1) = 1/√((15/8)² + 1) = 1/√(225/64+64/64) = 8/√289 = 8/17
Почти готово :) Коэффициент пропорциональности найден, и радиус вписанной в больший треугольник окружности
r₁ = r₂/k = 160/(8/17) = 20*17 = 340