Рассмотрим равнобедренный треугольник ABC с боковыми сторонами AB = BC и основанием AC.
Опустим из вершины B высоту BH на основание AC.
Рассмотрим треугольники ABH и BCH.
Так как BH - высота, то углы BHA = BHC = 90°, т.е. треугольники ABH и BCH - прямоугольные.
Заметим, что AB = BC, т.е. гипотенузы треугольников ABH и BCH равны и у них общий катет BH.
Следовательно, треугольники ABH и BCH конгруэнтны по гипотенузе и катету.
Отсюда вытекает, что AH = CH, а это означает, что BH является медианой.
Также из равенства треугольников ABH и BCH имеем, что углы ABH = CBH.
Следовательно, BH является биссектрисой угла ABC.
∠АБЦ = 90°
∠БСП = ∠БЦА = 180 - 90 - 30 = 60°
В прямоугольном ΔПБЦ
∠ПБЦ = 180 - 90 - 60 = 30°
Катет ПЦ против этого угла в два раза меньше гипотенузы
БЦ = Р
ПЦ = Р/2
БП = а/2
По Пифагору
(а/2)² + (Р/2)² = Р²
а²/4 = 3Р²/4
а² = 3Р²
Р² = а²/3
Р = а/√3