Площадь боковой поверхности пирамиды равна 40 см². вычислите площадь полной поверхности пирамиды, если все её боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60°.
Апофема f как гипотенуза, высота h пирамиды и радиус r вписанной окружности основания как катеты образуют прямоугольный треугольник/ r = f*cos(60°) Периметр основания - P Боковая поверхность S₁ = 1/2*P*f Площадь основания S₂ = 1/2*P*r = 1/2*P*f*cos(60°) = S₁*cos(60°) = 40/2 = 20 cm²
S трапеции где а и в - основания трапеции h-высота
Из вершины угла меньшего основания опустим на большее основание перпендикуляр. Получатся 2 отрезка. Меньший из них равен : (большее основание - меньшее)\2 Так мы найдем меньший отрезок
Периметр равен: большее основание+меньшее+ 2*боковые стороны (т.к.они равны) Выразим из этой полученной формулы боковую сторону :(Периметр -(сумма оснований))\2 Так мы найдем боковую сторону
У нас есть меньший отрезок и боковая сторона. По формуле Пифагора выразим высоту
Затем подставим числа в формулу площади. Все. Решено.
раз площади ∆ADC и ∆CDB относятся как 1 :3, то отрезки AD и DB тоже относятся как 1 :3 (так как у этих треугольников одна высота) AD/DB = 1/3 ∆ACD подобен ∆CDB (высота в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе делит треугольник на два подобных) <A = <DCB (сходственные углы подобных треугольников) обозначим СВ как х тогда tgA = CD/AD = x/1 tgDCB = DB/CD = 3/x раз углы равны, то tgA = tgDCB x/1 = 3/x x^2 = 3 x = √3 tgA = x/1 = √3
<A = arctg(tgA) = 60 ° <B = 180 - 90 - <A = 30° ну а <C у нас прямой по условию
r = f*cos(60°)
Периметр основания - P
Боковая поверхность
S₁ = 1/2*P*f
Площадь основания
S₂ = 1/2*P*r = 1/2*P*f*cos(60°) = S₁*cos(60°) = 40/2 = 20 cm²