Question

Прямоугольная трапеция с основаниями 7 и 15 см и высотой 6 см вращается около прямой, проходящей через вершину острого угла перпендикулярно основаниям. найдите объем и площадь поверхности тела вращения.

Answer 1

При вращении получим цилиндр, радиус основания которого R=15 см,
высотой Н=6 см, из которого вырезан конус, радиус основания которого равен 15-7=8 см, высота h=6.
V(тела)=V(цил)-V(кон)=V₁-V₂, 
S(пов.тела)=S(пов.цил)-S(осн.кон)+S(бок.кон)=S₁-S(осн.кон)+S(бок.кон) .

$V=V_1-V_2=\pi R^2H-\frac{1}{3}\pi \cdot r^2H=\pi \cdot 15^2\cdot 6-\frac{1}{3}\pi \cdot 8^2\cdot 6=\\\\=\pi (1350-128)=1222\, \pi \\\\S=S_1-S(osn.kon)+S(bok.kon)=\\\\=2\pi R^2+2\pi RH-\pi r^2+\pi rl=[\, l=\sqrt{8^2+6^2}=10\, ]=\\\\=2\pi \cdot 15^2+2\pi \cdot 15\cdot 6-\pi \cdot 8^2+\pi \cdot 8\cdot 10=\\\\=450\pi +180\pi -64\pi +80\pi =646\, \pi$