Очень простая задача, которую можно решить я её решаю только из за "египетского" треугольника.
Если в ромбе провести диагонали, то получится четыре одинаковых прямоугольных треугольника, в которых R - высота к гипотенузе.
Поскольку синус острого угла такого треугольника равен 3/5, это "египетский" треугольник, то есть он подобен треугольнику со сторонами 3,4,5.
У треугольника со стронами 3,4,5 высота равна 3*4/5 = 12/5; а у "четвертушки ромба" высота (по условию) R = 6, то есть коэффициент подобия равен 5/2, и боковая сторона ромба равна 5*5/2 = 25/2.
Периметр ромба равен P = 4*25/2 = 50,
а площадь S = P*R/2 = 50*6/2 = 150.
Если очень хочется "стандартного" решения, то половинки диагоналей ромба очевидно равны R/sinx и R/cosx, cosx = 4/5. Поэтому диагонали 20 и 15. Дальше элементарно - S = 20*15/2 = 150;
"Средняя" сторона пусть равна а, меньшая а - d, большая а + d.
Правильный треугольник такого же периметра имеет все стороны а, то есть его площадь равна a^2*√3/4. Площадь исходного треугольника равна 3/5 этой площади, то есть S = a^2*3√3/20;
Подставляем стороны в формулу Герона
S^2 = (3*a/2)*(a/2 - d)*(a/2)*(a/2 + d) = (3*a^2/4)*(a^2/4 - d^2);
Получается соотношение
(a^2*3√3/20)^2 = (3*a^2/4)*(a^2/4 - d^2);
a^4*27/400 = (3*a^2/4)*(a^2/4 - d^2);
a^2*9/100 = a^2/4 - d^2;
16a^2/100 = d^2;
a*2/5 = d;
Поэтому стороны равны
a*3/5; a; a*7/5; их отношение можно записать так 3:5:7;
