* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *
Даны точки A(-2; -3) и B(-1; -6). Найти множество точек C(x; y) плоскости таких, что S(ABC) = 11.
ответ: (x₀ ; -3x₀ -31 ) , (x₀ ; -3x₀ +13 ) .
Объяснение:
0,5*AB*h =S ; AB =√( ( -1 -(-2))²+(-6 -(-3)² ) =√( 1²+(-3)² ) =√10
0,5*√10 *h =11 ⇒ h =11√10 / 5. (длина высоты пров. из вершины С)
Все точки должны удалены от прямой AB на расстояния d=h .
Они лежат на двух прямых параллельных AB.
Составим уравнение AB :
y -(-3) =( (-6) -(-3) )/ (-1 -(-2) ) *(x -(-2)) ⇔ y+3 =-3(x +2) ⇔ 3x+y+9 =0.
d = |3x₀+y₀ +9| /√(3²+1) =11√10 / 5 ⇔ |3x₀+y₀+9| =22 .
а) 3x₀+y₀+9 = - 22 ⇒ y₀ = -3x₀ -31
б) 3x₀+y₀+9 = 22 ⇒ y₀ = -3x₀ +13
A1.
Sшестиугольника = 
ответ: 4
A2.
Правильный четырёхугольник - это квадрат. Так как он вписан в окружность, то диаметр окружности будет равен диагонали квадрата. Диагонали квадрата пересекаются в центре и делят его на 4 одинаковых прямоугольных равнобедренных треугольника с бок. сторонами = R ⇒ S квадрата равна площади четырех треугольников:
ответ: 1
A3.
Правильный шестиугольник состоит из 6 равносторонних треугольников, стороны которых равны a, а высоты равны радиусу R. Найдем, чему равны стороны через высоту (радиус):
Площадь одного треугольника будет равна:
Площадь шестиугольника:
ответ: 2
B1.
Пусть вписанный треугольник - ΔABC, сторона = 
; описанный - ΔA₁B₁C₁, сторона - 
Для ΔA₁B₁C₁ радиус 
высоты 
⇒
⇒ 
Для ΔABC радиус R = 
высоты :
⇒
⇒ 
Найдем соотношение периметров и площадей:
H = R = (abc)/(4S).
Площадь треугольника равна (по Герону):
S = √(p(p-a)(p-b)(p-c)).
p = (12+20+28)/2 = 60/2 = 30 см.
S = √(30*18*10*2) = √10800 = 60√3 см.
Тогда Н = (12*20*28)/(4*60√3) = 6720/(240√3) = 28/√3.
Теперь находим объём пирамиды:
V = (1/3)SoH = (1/3)*60√3*(28/√3) = 560 см³.