Question

Точка пересечения диагоналей параллелограмма abcd равноудалена от вершин параллелограмма. докажите, что abcd – прямоугольник.

Answer 1

Для доказательства того, что параллелограмм ABCD является прямоугольником, нам необходимо проделать несколько шагов.

Шаг 1: Предположение о точке пересечения диагоналей.
В данном случае, пусть точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD обозначается буквой O.

Шаг 2: Докажем, что точка O равноудалена от вершин параллелограмма.
Для этого рассмотрим треугольники ABO и CDO.

Шаг 2.1: Докажем, что стороны AB и DC равны.
Параллелограмм ABCD имеет противоположные стороны, поэтому AB = DC.

Шаг 2.2: Докажем, что углы BAO и CDO равны.
Угол BAO равен углу CDO, так как это вертикально противоположные углы. То есть, угол BAO = угол CDO.

Шаг 2.3: Докажем, что стороны AO и DO равны.
По условию, точка O равноудалена от вершин параллелограмма. Это означает, что расстояние от O до A равно расстоянию от O до C (AO = CO) и расстояние от O до B равно расстоянию от O до D (BO = DO).

Теперь мы установили, что AB = DC (стороны параллелограмма равны), угол BAO = угол CDO (вертикально противоположные углы равны) и AO = DO (точка O равноудалена от вершин параллелограмма).
Это означает, что треугольники ABO и CDO равны по стороне-углу-стороне (SAS), что в свою очередь означает, что угол AOB = угол COD.

Шаг 3: Доказываем, что у параллелограмма ABCD все углы прямые.
Ранее мы доказали, что угол AOB = угол COD. Комплементарные углы, дополняющие друг друга до 180 градусов, являются прямыми углами. То есть, если одна пара углов в параллелограмме является прямыми, то вторая пара углов также будет прямыми.
Таким образом, все углы параллелограмма ABCD являются прямыми углами.

Полученное доказательство показывает, что у параллелограмма ABCD все углы прямые. Следовательно, ABCD является прямоугольником.