Треугольник равнобедренный, значит угол ВАС=ВСА. Так как угол АВС известен, и он равен 67 градусов, то можно найти и ВАС,и =ВСА. Сумма углов в треугольнике равно 180. Тогда (180-67):2=113:2=56,5 градусов=ВАС=ВСА. Рассмотрим треугольник ВСК, который будет прямоугольным. По свойству медиан в равнобедренном треугольнике (Медиана, проведенная к основанию, будет и биссектрисой, и высотой). В треугольнике ВСК мы знаем 2 угла. угол ВКС=90 градусов и угол ВСК=56,5 градусов (ВСК=ВСА). Можно найти последний угол КВС. КВС=180-90-56,5=33,5 градуса. ответ: в треугольнике ВСК ушлы равны 90, 33,5 и 56,5 градусов.
Противоположные стороны параллелограмма равны, поэтому по теореме косинусов можно сразу найти косинус угла СВD в треугольнике CBD: Cos(CBD)=(BC²+BD²-CD²)/(2*BC*BD) или в нашем случае: Cos(CBD)=(25+36-16)/60=3/4. ответ: <CBD=arccos(3/4) или ≈41,4°. Синус угла CBD равен sin(CBD)=√(1-9/16)=√7/4. Диагональ делит параллелограмм на два равных треугольника, поэтому площадь параллелограмма равна Sabcd=2*Sbcd. Scbd=(1/2)BC*BD*Sin(CBD) или Scbd=15√7/4. Sabcd=2*15√7/4=15√7/2=7,5√7. ответ: Sabcd=7,5√7.
Для проверки найдем по теореме косинусов в треугольнике АВD косинус угла А: CosA=(16+25-36)/40=1/8. SinA=√(1-1/64)=(√63)/8=(3√7)/8. Тогда площадь параллелограмма равна Sabcd=AB*AD*SinA или Sabcd=(20*3√7)/8=15√7/2=7,5√7. ответ совпал с полученным ранее значением.
Запишем уравнение теоремы Пифагора для треугольника BDC:
BC^2 = BD^2 + CD^2
(3 - х)^2 = х^2 + (√3)^2
9 - 6х + x^2 = x^2 + 3
6x = 6
x = 1
BC = 3 - x = 3 - 1 = 2 = AD
Запишем уравнение теоремы Пифагора для треугольника ADC:
AC = √(AD^2 + DC^2)
AC = √((3 - x)^2 + (√3)^2) = √(4 + 3) = √7
ответ: AC = √7