Question

Спо . № 1 докажите что средние линии треугольника разбивают его на 4 равных треугольника. №2 на продолжении медианы cd треугольника авс отложен равный этой медиане отрезок de, а на продолжении медианы af отложен равный медиане af отрезок fh. докажите что точки b, h, eлежат на одной прямой. №3 в равнобедренном треугольнике abc (ab=bc) проведены биссектрисы an и ck. 1) докажите что отрезок kn параллелен стороне ас 2) докажите справедливость равенств ак=kn=nc.

Answer 1

1Пусть ABC - треугольник. М - середина АВ, N - середина ВС, К - середина АС.
Докажем, что треугольники AMK, BMN, NKC, MNK равны.
Так как M,N,K - середины, то
AM = MB, BN = NC, AK = KC.

Используем свойство среднее линии:
MN = 1/2 * AC = 1/2 * (AK + KC) = 1/2 * (AK + AK) = AK
Аналогично MK = NC, NK = AM.
Тогда в треугольниках AMK, BMN, NKC, MNK
AM = BM = NK = NK
AK = MN = KC = MN
MK = BN = NC = MK

Значит треугольники равны по трем сторонам, чтд.

2Треугольники BDE и ADC равны по первому признаку равенства треугольников -по двум сторонам и углу между ними: BD=AD, DE=DC по условию, углы BDE и ADC равны как вертикальные углы.
Треугольники ADE и BDC равны также по двум сторонам и углу между ними: BD=AD, DE=DC по условию, углы ADE и BDC равны как вертикальные.  
Значит треугольник ВАЕ, состоящий из треугольников BDE и ADE, равен треугольнику АВC, состоящему из треугольников BDC и ADC.

3не знаю, сорян