Пусть а - сторона меньшего треугольника, b - большего, R - радиус окружности.
По теореме синусов a = 2Rsin(60)= Rкорень(3). (Это можно получить сотней без теоремы синусов)
Для большего треугольника R - радиус вписанной окружности.
(Для правильного треугольника центры вписанной и описанной окружности совпадают с точкой пересечения медиан, и отрезок медианы - любой - от вершины до точки пересечения медиан - это радиус описанной окружности, а от точки пересечения медиан до стороны - это радиус вписанной окружности. Поскольку точка пересечения медиан делит медиану на отрезки в пропорции 2/1, то радиус описанной окружности у правильного треугольника в два раза больше радиуса вписанной окружности)
Поэтому у большего треугольника радиус описанной окружности 2R, и b = 4Rsin(60).
Отсюда b = 2a, так же относятся и периметры, а отношение площадей равно 4.
1. Поскольку трапеция равнобедренная, то два угла при основании равны 135 градусам. Зная, что сумма углов трапеции равна 360 градусам (по вертикальным углам, образованным параллельными прямыми), найдем сумма двух других углов:
360 - 2 * 135 = 90
Соответственно, каждый из двух углов при бОльшем основании равен 45 градусам.
2. Опустим из одной вершины трапеции высоту. (Не для записи: например, трапеция ABCD, опустили высоту BE. А вообще, так и рисуй))). Рассмотрим полученный треугольник АВЕ. Он прямоугольный, а угол ВАЕ равен 45 градусам (см. п.1). Угол АВЕ тоже будет равен 45 градусам (180 - 90 - 45), а значит, треугольник АВЕ - равнобедренный.
Зная гипотенузу и то, что катеты равны, воспользуемся теоремой Пифагора:
25 = 2 ВЕ^{2}
ВЕ^{2} = 25 / 2
ВЕ = АЕ = 5 / \sqrt{2}
3. Теперь, зная высоту трапеции, можем вычислить ее площадь по формуле
S = m * h, где m - средняя линия, а h - высота.
S = 8 * 5 / \sqrt{2} = 40 / \sqrt{2} кв.см
Пары соседних сторон:
MF и FE; FE и EK; EK и KM
Противолежащие стороны:
FE и MK; MF и KE
Противолежащие вершины:
M и E; K и F
Обозначения:
MKEF; FEKM; EKMF