По первому признаку подобия треугольников имеем, что данные равнобедр.треуг. подобны. Коэффициент их подобия равен как отношению соотв.сторон, так и отношению периметров. Найдем боковые стороны первого треугольника. Высота к основанию является также медианой, значит по теореме Пифагора боковая сторона равна кореньиз(64+36)=10. Периметр первого треугольника равен 10+10+16=36. Коэффициент подобия k=54/36=3/2=1,5. Значит боковые стороны второго равнобедр.треугольника равны 10*1,5=15 см, а основание равно 16*1,5=24 см.
В треугольнике: катеты а и b, гипотенуза с, прямой угол С, R - радиус описанной окружности, r- радиус вписанной окружности. Начнём с описанной окружности. Поскольку угол С прямой, то этот угол опирается на диаметр окружности, т.е. диаметр окружности есть его гипотенуза, и. с = 2R Теперь вписанная окружность. Опустим из её центра на катеты перпендикуляры, эти перпендикуляры равны r- радиусу вписанной окружности. Два взаимно перпендикулярных радиуса r и отрезки катетов, прилежащих к вершине прямого угла С, образуют квадрат со стороной r. Тогда отрезки катетов, прилегающих к вершинам острых углов, равны (а - r) и (b - r). Третий перпендикуляр, опущенный из центра окружности на гипотенузу делит её на отрезки, равные (а - r) и (b - r). Получается, что гипотенуза равна c = a - r + b - r = a + b - 2r. Но ранее мы получили, что с = 2R Тогда 2R = a + b - 2r 2R + 2r = a + b R + r = 0.5(a + b) что и требовалось доказать.
Пирамида правильная, значит в основании квадрат, а боковые грани - равные равнобедренные треугольники.
Sполн. пов. = Sосн + Sбок
Sосн = а²
Пусть SH - высота грани ASD, т.е. SH - апофема пирамиды.
Sбок = 1/2 Pосн · SH = 1/2 · 4a · SH
ΔASD равнобедренный, поэтому SH - высота, биссектриса и медиана,
АН = а/2, ∠ASH = b/2.
ΔASH: ctg(b/2) = SH / AH
SH = AH · ctg(b/2) = a/2 · ctg(b/2)
Sбок = 1/2 · 4a · SH = 2a · a/2 · ctg(b/2) = a² · ctg(b/2)
Sполн. пов. = a² + a² · ctg(b/2) = a²(1 + ctg(b/2))