1. Пусть АВ ∩ α = О. Прямые АА₁, ВВ₁, ММ₁ лежат в одной плоскости, которая пересекает плоскость α по прямой А₁В₁. Т.е. точки А₁, О, М₁, В₁ лежат на одной прямой. ΔВВ₁О подобен ΔАА₁О по двум углам (углы при вершине О равны как вертикальные, ∠АА₁О = ∠ВВ₁О как накрест лежащие при пересечении АА₁║ВВ₁ секущей А₁В₁), значит ВО : ОА = ВВ₁ : АА₁ = 4 : 6 = 2 : 3 ОА = 3/5 АВ АМ = 1/2 АВ ОМ = ОА - АМ = 6/10 АВ - 5/10 АВ = 1/10 АВ.
МО/АО = 1/10 / (3/5) = 1/6
ΔОММ₁ подобен ΔОАА₁ по двум углам (угол О общий, ∠ОММ₁ = ∠ОАА₁ как соответственные при пересечении ММ₁║АА₁ секущей АО), значит ММ₁ : АА₁ = МО : АО = 1 : 6 ММ₁ = АА₁/6 = 1 см.
2. Проведем АН⊥α. Тогда АН = 2√2 дм, и СН - проекция АС на α, ВН - проекция АВ на α. Угол между прямой и плоскостью - угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость. ∠(АС; α) = ∠АСН ∠(АВ; α) = ∠АВН ΔАСН: ∠АНС = 90° sin∠ACH = AH/AC = 2√2/4 = √2/2 ∠ACH = 45°.
АВ = 4√2 дм как гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника.
3. Параллельные плоскости пересекают третью плоскость по параллельным прямым. 1) Плоскость ВС₁А₁ и параллельная ей плоскость α пересекают плоскость грани АА₁В₁В по параллельным прямым. Поэтому в этой грани строим среднюю линию треугольника ВА₁В₁ - KL, которая параллельна ВА₁. KL - это отрезок, который лежит в плоскости α и в грани АА₁В₁В. 2) Проведем среднюю линию треугольника ВВ₁С₁ - КМ, она параллельна ВС₁. KLM - искомое сечение. Оно проходит через точку К и параллельно ВС₁А₁ (так как две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости). 3) ВС₁А₁ - равносторонний треугольник, так как его стороны являются диагоналями равных квадратов. ВС₁ = С₁А₁ = А₁В₁ = 24√2 см Sbc₁a₁ = BC₁²√3/4 = 576·2·√3/4 = 288√3 см² ΔKLM подобен ΔВС₁А₁ по трем сторонам (стороны треугольника KLM в два раза меньше соответствующих сторон треугольника ВС₁А₁ как средние линии соответствующих треугольников). k = 1/2. Sklm = Sbc₁a₁ · k² = 288√3/4 = 72√3 см²
Основание правильной четырехугольной призмы- квадрат со стороной а, а=24/4=6 см, боковое ребро ⊥ основанию и равно 10, площадь полной поверхности призмы равна Sбок+2Sосн, Sбок = 10*4а= 10*24=240 см², Sосн= а²= 6²=36 см², Sполн=Sбок+2Sосн=240+2*36= 240+72=312 см², основание правильной треугольной призмы- равносторонний Δ со стороной а=24/3=8 см, и тремя равными углами α= 180°/3=60°, Sосн= а²sin60°/2= (8²*√3/2)/2=64√3/4= 16√3 см², боковое ребро ⊥ основанию и равно 10 см, т е Sбок= 3а*h= 3*8*10=240 см², Sполн= Sбок+2Sосн= 240+ 32√3, сравним площади полных поверхностей этих призм: 312=240+72 > 240+32√3, (√3 < 2) , т е у нас полная поверхность четырехугольной призмы больше треугольной
Сумма смежных углов равна 180°
Пусть один угол будет х, тогда второй 40х
х+40х=180°
41х=180
х=180/40
х≈4,39
4,39•40=175,6