На сторонах ав, вс и са треугольника abc взяты точки к, м и р так, что ак: кв = 1: 2, вм: мс =2: 3, ср: ра = 3 : 4. площадь треугольника abc равна 7.. найдите площадь треугольника кмр
Площадь через сторону 14 и высоту к ней S = 1/2*14*12 = 7*12 = 84 см² Площадь через сторону 13 и высоту к ней S = 1/2*13*h₂ = 84 см² 1/2*13*h₂ = 84 h₂ = 84*2/13 = 168/13 см Площадь через сторону 15 и высоту к ней S = 1/2*15*h₃ = 84 см² 1/2*15*h₃ = 84 h₃ = 84*2/15 = 168/15 см
Найдём по известным сторонам первую высоту Полупериметр p = 1/2(13 + 14 + 15) = 21 см Площадь по формуле Герона S = √(21(21-13)(21-14)(21-15)) = √(21*8*7*6) = 7√(3*8*6) = 7*3√(8*2) = 7*3*4 = 84 см² Площадь через сторону 14 и высоту к ней S = 1/2*14*h₁ = 84 см² 1/2*14*h₁ = 84 h₁ = 84/7 = 12 см
Площадь через сторону 14 и высоту к ней S = 1/2*14*12 = 7*12 = 84 см² Площадь через сторону 13 и высоту к ней S = 1/2*13*h₂ = 84 см² 1/2*13*h₂ = 84 h₂ = 84*2/13 = 168/13 см Площадь через сторону 15 и высоту к ней S = 1/2*15*h₃ = 84 см² 1/2*15*h₃ = 84 h₃ = 84*2/15 = 168/15 см
Найдём по известным сторонам первую высоту Полупериметр p = 1/2(13 + 14 + 15) = 21 см Площадь по формуле Герона S = √(21(21-13)(21-14)(21-15)) = √(21*8*7*6) = 7√(3*8*6) = 7*3√(8*2) = 7*3*4 = 84 см² Площадь через сторону 14 и высоту к ней S = 1/2*14*h₁ = 84 см² 1/2*14*h₁ = 84 h₁ = 84/7 = 12 см
Рассмотрим треуг при вершине А (АКР)
его стороны меньше АК/АВ = 1/3 и АР/АС = 4/7
значит его площадь 1/3 * 4/7 от 7 = 4/21*7
При вершине В (ВКМ) 2/3* 3/5 от 7 = 2/5*7
При вершине С (СМР) 2/5* 3/7 от 7 = 6/35*7
Чтобы найти искомую площадь вычтем из 7 полученные площади
КМР = 7 (1 - 4/21 - 2/5 - 6/35) = 7 * 5/21 = 5/3