S = 24 cм².
Объяснение:
Пирамида правильная, следовательно, основания - правильные треугольники. По формулам радиусы описанных окружностей этих треугольников равны: ОС = R = (√3/3)·а = 8√3/3 см, аналогично,
R1 = 5√3/3 см. Радиус вписанной окружности r = OH = R/2 = 4√3/3 см.
Тогда ОР = ОН +ОР = 4√3/3 + 5√3/3 = 9√3/3 = 3√3 см. (так как ОР = О1С1).
В прямоугольном треугольнике С1НР по Пифагору найдем С1Н - высоту сечения АВС1 (по теореме о трех перпендикулярах).
С1Н = √(НР²+С1Р²) = √(27+9) = 6 см.
Площадь сечения (треугольника АВС1) равна:
S = (1/2)·AB·C1H = (1/2)·8·6 = 24 cм².
Радиус описанной окружности около правильного тр-ка рассчитывается по формуле: R=(a√3)/3=(8√3)/3см.
Пусть сторона пятиугольника равна х.
Правильный пятиугольник состоит из пяти равнобедренных тр-ков с основанием х, которые, в свою очередь делятся высотой, опущенной из центра на основание х, на два прямоугольных треугольника.
Рассмотрим один такой тр-ник. У него гипотенуза R, один из катетов х/2, а угол, напротив этого катета - центральный, равен: ∠О=360/10=36°
sin36=(х/2)/R,
x=2Rsin36=(16sin36·√3)/3≈5.43см.