Question

Известно, что длина вектора a=3, длина вектора b=4 и угол между этими векторами равен 120 градусов. найдите косинус угла между векторами m=3вектора a + 2 вектора b и n=вектор a - 2 вектора b

Answer 1

Вектор m можно представить как сумму трех векторов a и двух векторов b:

m = 3a + 2b

Также, вектор n можно представить как разность вектора a и удвоенного вектора b:

n = a - 2b

Мы должны найти косинус угла между векторами m и n. Для этого используем формулу косинуса угла между двумя векторами:

cos(θ) = (m · n) / (|m| * |n|)

где m · n - скалярное произведение векторов m и n,
|m| и |n| - длины векторов m и n соответственно.

Давайте начнем с расчета каждого из компонентов векторов m и n.

Компоненты вектора m:
m = 3a + 2b

m = 3 * (ax, ay) + 2 * (bx, by)

m = (3ax, 3ay) + (2bx, 2by)

m = (3ax + 2bx, 3ay + 2by)

Компоненты вектора n:
n = a - 2b

n = (ax, ay) - 2 * (bx, by)

n = (ax - 2bx, ay - 2by)

Теперь мы можем вычислить скалярное произведение m и n, а затем длины векторов m и n:

m · n = (3ax + 2bx, 3ay + 2by) · (ax - 2bx, ay - 2by)

m · n = (3ax + 2bx)(ax - 2bx) + (3ay + 2by)(ay - 2by)

m · n = (3ax * ax - 6bx * ax + 2bx * ax - 4bx * bx) + (3ay * ay - 6by * ay + 2by * ay - 4by * by)

m · n = (3ax * ax - 4bx * bx) + (3ay * ay - 4by * by)

|m| = sqrt((3ax + 2bx)^2 + (3ay + 2by)^2)

|n| = sqrt((ax - 2bx)^2 + (ay - 2by)^2)

Теперь у нас есть все необходимые значения для формулы косинуса угла между векторами m и n:

cos(θ) = (m · n) / (|m| * |n|)

cos(θ) = ((3ax * ax - 4bx * bx) + (3ay * ay - 4by * by)) / (sqrt((3ax + 2bx)^2 + (3ay + 2by)^2) * sqrt((ax - 2bx)^2 + (ay - 2by)^2))

Теперь можем использовать данные о векторах a и b, чтобы получить числовое значение косинуса угла между векторами m и n.